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1、成才之路 数学,路漫漫其修远兮 吾将上下而求索,人教版 必修2,点、直线、平面之间的位置关系,第二章,2.3 直线、平面垂直的判定及其性质,第二章,2.3.4 平面与平面垂直的性质,1直二面角：二面角的平面角是_. 2两平面垂直的定义：两平面所成的二面角是_ 3两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的_，那么这两个平面垂直,知识衔接,90,直二面角,一条垂线,4下列命题正确的是( ) A垂直于同一条直线的两直线平行 B垂直于同一条直线的两直线垂直 C垂直于同一个平面的两直线平行 D垂直于同一条直线的一条直线和平面平行 答案 C,平面与平面垂直的性质定理,自主预习,一个平面内,交线,
2、垂直,a,al,垂直,破疑点 平面与平面垂直的性质定理给出了判断直线与平面垂直的另一种方法，即“面面垂直，则线面垂直”，揭示了线面垂直与面面垂直的内在联系 知识拓展 垂直关系的知识总结： 线面垂直的关键，定义来证最常见， 判定定理也常用，它的意义要记清， 平面之内两直线，两线交于一个点， 面外还有一条线，垂直两线是条件 面面垂直要证好，原有图中去寻找， 若是这样还不好，辅助线面是个宝,先作交线的垂线，面面转为线和面， 再证一步线和线，面面垂直即可见 借助辅助线和面，加的时候不能乱， 以某性质为基础，不能主观凭臆断 判断线和面垂直，线垂面中两交线 两线垂直同一面，相互平行共伸展 两面垂直同一线，
3、一面平行另一面 要让面和面垂直，面过另面一垂线 面面垂直成直角，线面垂直记心间,1已知平面平面，则下列命题正确的个数是( ) 内的直线必垂直于内的无数条直线； 在内垂直于与的交线的直线必垂直于内的任意一条直线； 内的任何一条直线必垂直于； 过内的任意一点作与交线的垂线，则这条直线必垂直于. A4 B3 C2 D1 答案 C,预习自测,解析,2如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EFA1B1于F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是( ) A平行 BEF平面A1B1C1D1 C相交但不垂直 D相交且垂直 答案 D 解析 平面ABB1A1平面A1B1C1D1，EF平面
4、ABB1A1，平面ABB1A1平面A1B1C1D1A1B1，EFA1B1，EF平面A1B1C1D1.,3如图所示，三棱锥PABC中，平面PAB平面ABC，PAPB，ADDB，求证：PD平面ABC 分析 转化为证明PDAB 证明 PAPB，ADDB，PDAB 又平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABCAB，PD平面ABC,已知：，l. 求证：l. 证明 证法1：在内取一点P，作PA垂直与的交线于A，作PB垂直与的交线于B，则PA，PB，l，lPA，lPB，,平面垂直性质定理的应用,互动探究,PA与PB相交，又PA，PB，l.,规律总结：证法一、证法二都是利用“两平面垂直时，在一个平面内垂直于两
5、平面的交线的直线垂直于另一个平面”的这一性质，添加了在一个平面内垂直于交线的直线这样的辅助线这是证法一、证法二的关键 证法三是利用“如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内”这一性质，添加了l这条辅助线，这是证法三的关键 通过此例，应仔细体会两平面垂直时，添加辅助线的方法,又在原题条件下，添加条件b，b，求证b.在l上任取一点B，过b和B的平面交于过B的直线a，交于过B的直线a， b，ab，同理ba， a和a同时过B且平行于b. a和a重合于直线l，由l可得b.,如图，已知V是ABC所在平面外一点，VB平面ABC，平面VAB平面VAC，求证：ABC
6、是直角三角形 分析 灵活运用线垂直于面与面垂直于面的转化,证明 过B作BDVA于D， 平面VAB平面VAC，BD平面VAC， BDAC，又VB平面ABC，VBAC， AC平面VAB，ACBA， 即ABC是直角三角形,如右图所示，平面平面，在与的交线l上取线段AB4 cm，AC，BD分别在平面和平面内，ACl，BDl，AC3 cm，BD12 cm，求线段CD的长,与面面垂直有关的计算,探究 要求CD的长，由BDl，易知BCD为直角三角形，已知BD的长，只要知道BC的长即可由ACl知ABC为直角三角形，从而可解,规律总结：1.与面面垂直有关的计算问题的类型： (1)求角的大小(或角的某个三角函数值
7、)：如两异面直线所成的角、线面角、二面角等 (2)求线段的长度或点到直线、平面的距离等 (3)求几何体的体积或平面图形的面积,2计算问题的解决方法： (1)上述计算问题一般在三角形中求解所给条件中的面面垂直首先转化为线面垂直，然后转化为线线垂直往往把计算问题归结为一个直角三角形中的计算问题 (2)求几何体的体积时要注意应用转换顶点法，求线段的长度或点到平面的距离时往往也应用几何体中的转换顶点(等体积)法,如图所示，平面平面，A，B，AB与平面，所成的角分别为45和30，过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足为A，B，且AB12，求AB的长,如图所示，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是正方形，S
8、A平面ABCD，且SAAB，点E为AB的中点，点F为SC的中点 求证：(1)EFCD； (2)平面SCD平面SCE.,线线、线面、面面垂直的综合应用,探索延拓,(2)在RtSAE和RtCBE中， SACB，AEBE， RtSAERtCBE， SEEC，即SEC为等腰三角形 F为SC的中点， EFSC 又EFCD，且SCCDC， EF平面SCD 又EF平面SCE， 平面SCD平面SCE.,规律总结：(1)空间垂直关系的判定方法.,(2)在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：,(3)在垂直的判
9、定定理和性质定理中，有很多限制条件，如“相交直线”“线在面内”“平面经过一直线”等这些条件一方面有很强的约束性；另一方面又为证明指出了方向在利用定理时，既要注意定理的严谨性，又要注意推理的规律性,(2015南昌高二检测)已知在四棱锥SABCD中，SD平面ABCD，ABDC，ABAD1，SD2，BCBD，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC 证明：(1)DE平面SBC； (2)SE2EB,解析 (1)如图， 因为SD平面ABCD， 故BCSD，又BCBD， 所以BC平面BDS， 所以BCDE. 作BKEC，K为垂足， 由平面EDC平面SBC，平面EDC平面SBCEC， 故BK平面EDC 又D
10、E平面EDC，所以BKDE. 又因为BK平面SBC，BC平面SBC，BKBCB， 所以DE平面SBC,如图所示，四棱锥PABCD的底面是一个直角梯形，ABCD，BAAD，CD2AB，PA底面ABCD，E是PC的中点，则平EBD能垂直于平面ABCD吗？请说明理由,易错点 考虑问题不全面，导致证明过程不严谨,误区警示,错解 平面EBD不能垂直于平面ABCD理由如下： 假设平面EBD垂直于平面ABCD， 过E作EOBD于O，连接AO，CO. EO平面EBD，EOBD， 平面EBD平面ABCDBD， EO平面ABCD 又PA平面ABCD， EOPA,又E是PC的中点， O是AC的中点 又ABCD， A
11、BOCDO. 又AOOC，ABCD， 这与CD2AB矛盾，假设不成立 故平面EBD不能垂直于平面ABCD,错因分析 错误的原因是默认了A，O，C三点共线，而A，O，C三点若不共线，则ABOCDO不成立事实上，很容易证A，O，C三点共线，由于A，O，C是PC上三点P，E，C在平面ABCD上的投影，故P，E，C三点的投影均在直线AC上，故A，O，C三点共线，补上这一点证明就完整了,正解 平面EBD不能垂直于平面ABCD理由如下： 假设平面EBD垂直于平面ABCD， 过E作EOBD于O，连接AO，CO. EO平面EBD，EOBD，平面EBD平面ABCDBD， EO平面ABCD 又PA平面ABCD，
12、EOPA A，O，C是PC上三点P，E，C在平面ABCD上的投影， P，E，C三点的投影均在直线AC上， A，O，C三点共线,又E是PC的中点， O是AC的中点 又ABCD， ABOCDO. 又AOOC，ABCD， 这与CD2AB矛盾， 假设不成立故平面EBD不能垂直于平面ABCD,如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是DAB60且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD (1)求证ADPB； (2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF平面ABCD？并证明你的结论,解析 (1)证明：设G为AD的中点，连接BG，PG， PAD为正三角形，P
13、GAD 在菱形ABCD中，DAB60，G为AD的中点， BGAD 又BGPGG，AD平面PGB PB平面PGB，ADPB,(2)当F为PC的中点时，平面DEF平面ABCD 证明如下： 在PBC中，F是PC的中点，EFPB 在菱形ABCD中，GBDE，而FE平面DEF，DE平面DEF，EFDEE， 平面DEF平面PGB， 由(1)得PG平面ABCD，而PG平面PGB， 平面PGB平面ABCD， 平面DEF平面ABCD,1设两个平面互相垂直，则( ) A一个平面内的任何一条直线垂直于另一个平面 B过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一平面上 C过交线上一点垂直于交线的直线，必垂直于另一个平面 D
14、分别在两个平面内的两条直线互相垂直 答案 B,2过两点与一个已知平面垂直的平面( ) A有且只有一个 B有无数个 C有且只有一个或无数个 D可能不存在 答案 C,3如右图所示，三棱锥PABC中，平面PAB平面ABC，PAPB，ADDB，则( ) APD平面ABC BPD平面ABC CPD与平面ABC相交但不垂直 DPD平面ABC 答案 B,解析 PAPB，ADDB，PDAB 又平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABCAB，PD平面PAB， PD平面ABC,4在空间中，用x、y、z表示不同的直线或平面，若命题“xy，xz，则yz”成立，则x、y、z分别表示的元素是( ) Ax、y、z都是直线 Bx、y、z都是平面 Cx、y是平面，z是直线 Dx是直线，y、z是平面 答案 D,解析 垂直于同一条直线的两直线不一定平行故A错；垂直于同一个平面的两个平面不一定平行，故B错；一条直线与一个平面都和同一个平面垂直时，直线可能在平面内，故C错由线面垂直的性质知，D正确,5用a，b，c表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题： 若ab，bc，则ac； 若ab，bc，则ac； 若a，b，则ab； 若a
