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1、2000年1月 第9卷 第1期 中央民族大学学报(自然科学版) Journal of the CUN (Natural Sciences Edition) Jan. 2000 Vol . 9 No. 1 狄拉克符号的教法 朱振和 (中央民族大学物理系,北京100081) 摘 要 提出一种以具体说明抽象的教法来讲授狄拉克符号,可以把刃矢和刁矢分别理解为列矩阵和 行矩阵.还说明了刃矢左乘刁矢的定义,给出了刃矢和刁矢连乘的规则满足结合律 1 关键词: 狄拉克符号;刃矢;刁矢;矩阵;乘法结合律 1 引 言 在科学文献中,经常采用狄拉克符号来表述量子力学的理论和公式.所以在量子力学课程 中讲解狄拉克符号
2、是必不可少的. 根据我的教学经验,由于狄拉克符号是一种抽象的表述法,因此学生们理解起来比较困 难.他们经常提出这样的问题:“这个公式是怎样推导出来的?” 例如,在曾谨言著的 量子力学 卷? 1第 194页上有这样一个公式: = 6 k k = 6 k k .(1) 中间的式子是相乘得到一个数,再与k相乘.一个数与k相乘,既可以写在 k的左面,也可以写在k的右面,所以等于右边的式子.但是在写成右边的式子以后,学生 们很难理解,为什么可以先把k与相乘?也就是说,为什么刃矢和 刁矢连乘时可以变更相乘的次序? 我们采用的教材是周世勋编的 量子力学教程.我们发现在该书的狄拉克符号那一节 中2遗漏了一些应
3、该说明的内容,在很多国内出版的量子力学教科书中也有这样的遗漏.这样 一来,增大了学生们理解狄拉克符号的难度. 因此,狄拉克符号这一节是量子力学教学中的一个难点.我们在教学中探索出一种以具体 说明抽象的教法,克服了这个难点.以下详细说明这种教法. 2 刃矢和刁矢 用狄拉克符号,量子力学的态用刃矢或刁矢表示2.例如,A态的波函数为 A,A态可以 用刃A或刁和或刁 收稿日期: 1998- 08- 10 和或刁B在Q表象中 具体化为一个行矩阵.所以我们可以把刃矢理解成如(3)或(6)式这样的列矩阵,把刁矢理解成 如(4)或(7)式这样的行矩阵. 在周世勋编的 量子力学教程 中把力学量Q 的本征刃写作n
4、 ,如果把它理解成一个列 矩阵,应该是这样的形式: 1 = 1 0 0 ? ? ,2 = 0 1 0 ? ? ,n = 0 ? 1 0 ? 第n行,(8) 其理由是:Q 的本征态 un按(2)或(5)这样的形式展开的表达式为 un= 6 i niui.(9) 06 中央民族大学学报(自然科学版)第9卷 3 刃矢和刁矢相乘 刃矢和刁矢可以相乘.刁称为A和 =a1b31+a2b32+anb3n+= 6 n anb3n.(10) 我们把刁理解成列矩阵 (3), 则标积自然可以理解 为矩阵(7)左乘矩阵 (3), b31b32b3n a1 a2 ? an ? = 6 n anb3n,(11) 这与(1
5、0)式是完全一致的. 刃矢和刁矢还有另外一种乘积,就是刃矢左乘刁矢之积,它相当于一个可以作用于刃矢的 线性算符.狄拉克在提出狄拉克符号的时候也定义了刃矢左乘刁矢之积3.在周世勋编的 量 子力学教程 2和很多国内出版的量子力学教科书中遗漏了这个内容 .在曾谨言著的 量子力 学 卷? 中说明了可以把k 和刁 左乘本征刁 的标积是一个数,它左乘本征刃k和右乘k是等同的,所以有 (1)式.写成(1)式右边这个形式以后,把它看作k和相乘,满足结合律.可以是先相乘(标积 ), 然后与k相乘;也可以是k和 相乘,即 k ( ) =(k .(15) 4 态和算符的表示 在Q表象中,任一刃矢A可以按Q 的本征刃
6、n 展开: A = 6 n ann1(16) 由(3)式和(8)式可知, 的标积为 = 6 i aini=an,(17) 代入(16)式得到 A = 6 n n = 6 n n ,(18) 所以有 6 n n 的封闭性.在周世勋编的 量子力学教 程 中的 (4 15- 15)式就是这里的(19)式,但是在该书中没有说明1表示单位算符,容易被人误 解为一个数. 如果Q 的本征值既有分立谱,又有连续谱,以q表示对应于连续本征值q的本征矢.在 连续谱的部分,求和应该换为积分,那么Q 的本征矢的封闭性表示为 6 n n 的封闭性表示为 dxx 的封闭性表示为 dpp 也可以按坐标本征矢x展开,与(18
7、)式相对应,可以写出 A =dxx .(23) 的标积可以表示为 =dx =dx 3 B(x)A(x ). (24) 设算符F 作用于刃A 上得到刃B ,则可写为 B =F A .(25) 我们把A和B理解为1k矩阵,则F 就理解为一个kk矩阵.设Q 有分立的本征值 谱,则类同于(18)式可以写出 B = 6 n n .(26) 将(18)和(26)式代入(25)式,得到 6 n n = 6 n F n .(27) 以基刁 =m n,得到 = 6 n ,(28) 式中是算符F 在Q 表象中的矩阵元Fm n. (28)式也可以写作 bm= 6 n Fm nan.(29) 把B ,F 和A 都理解
8、为矩阵以后,求(25)式的共轭式就很容易了.F矩阵乘以(3)矩 阵得到的矩阵的共轭,等于(3)矩阵的共轭矩阵乘以F矩阵的共轭矩阵,所以有 B= AF 0 1(30) (30)式就是(25)式的共轭式.当F 是厄密算符时, F=F 0 , (30)式写为 B= AF.(31) 5 总 结 我们找到了一种以具体说明抽象的教法,由于刃矢和刁矢在某个具体的Q表象中分别由 列矩阵和行矩阵表示,因此可以把刃矢和刁矢分别理解为列矩阵和行矩阵.我们还说明了刃矢 左乘刁矢的定义,给出了刃矢和刁矢连乘的规则满足结合律.我们还指出了(19)式中的1 是单位算符,而不是数.在讲授狄拉克符号这一节时作了以上改进以后,学
9、生们就容易理解了, 取得了很好的教学效果. 参考文献 1 曾谨言.量子力学(卷? ). 北京:科学出版社, 1995, 192198 2 周世勋.量子力学教程.北京:高等教育出版社, 1995, 119124 3 P. A. M. D irac, The Principles of Q uantum M echanics(4th ed. ), (Oxford at the Clarendon Press, 36 第1期朱振和:狄拉克符号的教法 1958), 1826 A M ethod of Teaching D irac Symbols Zhu Zhenhe (D epartm ent of
10、 Physics,Central U niversity f or N ationalities,B eijing100081) Abstract A method of teaching D irac symbols that the abstract is represented by the specific is presented. A ket vector and a bra vector can be regarded as a column matrix and a row matrix, respectively. The product of a ket vector an
11、d a bra vector w ith the ket on the left is defined. The associative axiom of multiplication for the continued product of kets and bras is stated. Keywords: D irac symbols; ket vector; bra vector;matrix; associative axiom of multiplication (上接第58页) On M ultiplication of Vector and Tensor Zhu Zhengyu
12、an (D epartm ent of M athem atics,Central U niversity f or N ationalities,B eijing100081) Abstract In this paper, W e study some multiplicationes of vector and tensor including definitions, properties and relation between them. Keywords: Scalar(inner)product; vector product; m ixed product; tensor product; exterior (outer)product 46 中央民族大学学报(自然科学版)第9卷
