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1、23 平面向量的数量积,23.1 向量数量积的物理背景与定义,向量a与b的夹角,同向,反向,垂直,正射影,|a|cos,|a|,|a|,3向量的数量积(内积) (1) 叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab (2)两向量的数量积不是向量而是 ，它可以为正数、零、负数，要注意区分两向量数量积的运算性质与数乘向量、实数乘实数之间的差异 (3)向量数量积的几何意义：向量a与向量b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上的正射影的数量|b|cos的乘积，或看作是 与 的乘积,|a|b|cosa，b,|a|b|cosa，b,数量,b的长度|b|,a在b方向上,的正射影的数量|a|cosa，b
2、,4向量数量积的性质 (1)如果e是单位向量，则aeea (2)ab ； (3)aa|a|2或|a| ； (4)cos (a0，b0)； (5)|ab| .,|a|cosa，e,ab0,|a|b|,重点：平面向量数量积的概念，用平面向量的数量积表示向量的模及向量的夹角 难点：平面向量数量积的定义及性质的理解，平面向量数量积的应用,1两向量的数量积是一个实数，而不是向量要注意两向量数量积的书写为ab，要与代数中的a，b的乘积ab区分开来 当a0时，ab0不能推出b一定为零向量，这是因为对任一与a垂直的非零向量b，都有ab0. 2若a、b、c为实数，当b0时，abbcac，但对于向量的数量积，该推
3、理不正确，即abbc/ ac.由图很容易看出，虽然abbc，但ac.,3向量数量积的性质的应用及证明 (1)如果e是单位向量，则aeea|a|cos. 证明：ae|a|e|cos|a|cos， ea|e|a|cos|a|cos， aeea|a|cos. abab0.,证明：已知ab，若a、b中至少有一个为零向量，则符合条件ab，ab0；若a0，b0，由已知90，ab|a|b|cos0.因此，abab0. 已知ab0，若a、b中至少有一个为零向量，满足ab0，根据定义知ab；若a0，b0，则ab|a|b|cos0，即cos0.又因为0180，90，ab.因此，ab0ab；综上所述，abab0.,
4、(2)性质(1)可以帮助理解数量积的几何意义；性质(2)可以解决有关垂直的问题；性质(3)可以求向量的长度；性质(4)可以求两向量的夹角；性质(5)可以解决有关不等式的问题，当且仅当ab时，等号成立五条性质，均可由向量数量积的定义推出,例1 已知向量a与轴l.则下列命题 a在l上的射影为正数； a在l上的射影为非负数； a在l上的射影为向量； a在l上的数量为非负数； a在l上的数量为实数； a在l上的数量为向量；,分析 利用射影、射影的数量以及向量夹角的定义解题,解析 a在l上的射影为向量这个向量的坐标叫做数量 故不正确，正确，不正确，正确，由向量夹角的范围可知不正确 故选. 答案 ,(20
5、10江西)已知向量a，b满足|b|2，a与b的夹角为60，则b与a上的投影是_ 答案 1,例2 已知|a|2，|b|5. (1)若ab，求ab； (2)若ab，求ab； (3)若a，b夹角为60，求ab. 分析 已知|a|与|b|，只需确定其夹角，特别需注意ab时有0和180两种可能,解析 (1)当ab时，若a，b同向，则它们的夹角为0，所以ab|a|b|cos010； 若a，b反向，则它们的夹角为180. 所以ab|a|b|cos18010. (2)当ab时，夹角为90，所以ab|a|b|cos900. (3)当a，b夹角为60时，ab|a|b|cos605.,点评 (1)用定义求数量积一定
6、要注意两个向量的夹角； (2)当ab时，要注意夹角为0和180两种情况,若向量a，b满足|a|b|1，a与b的夹角为120，则aaab_.,例3 已知ABC中， a， b，B是ABC中的最大角，若ab0，试判断ABC的形状,答案 正三角形,误解 、中式子全部正确，故选D.,正解 0a0,0a0 |ab|a|b|cos|， 都不正确；故应选B.,答案 C 解析 ab|a|b|cos 21cos601.,2下列四个命题： 若abac，则bc； 若ab0，则|a|b|0；若ab，则ab0； 若ab，则|ab|a|b|. 其中正确命题的个数是 ( ) A4个 B3个 C2个 D1个,答案 C 解析 命题中，若a0，bc，也有abac0，所以错命题中，若a，b的夹角为90，则由定义知ab0，但|a|b|0，所以错,答案 A,二、填空题 4已知ab12，且|b|5，则向量a在向量b的方向上的正射影的数量为_,
