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1、第四单元 导数及其应用,知识体系,第一节 导数的概念及运算,基础梳理,1. 函数f(x)在x0到x0+x之间的平均变化率 已知函数y=f(x), x0,x1是其定义域内不同的两点,记x= x1- x0, y=f(x0+x)-f(x0),则当x0时,商 叫做函数y=f(x)在区间x0, x0+x的平均变化率.,（2）几何意义 函数f(x)在 处的导数 的几何意义是在曲线y=f(x)上点 处的切线的斜率，相应的，切线方程为,2.函数f(x)在x=x0处的导数 （1）定义 函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率称为函数f(x)在x=x0处的导数，记作f(x0).,4.基本初等函数的导数公式,3. 函数
2、f(x)的导函数 f(x)在开区间(a，b)可导,对(a，b)内每个值x,都对应一个确定的导数 在区间(a，b)内 构成一个新的函数,称为函数y=f(x)的 导函数,记为 或y(或 ).,5. 导数运算法则 （1）f(x)g(x)=f(x)g(x); （2）f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x); （3）,6. 复合函数的导数 复合函数y=fg(x)的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系 为 ,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.,典例分析,题型一 求函数的平均变化率 【例1】 求函数 在 到 之间的平均变化率.,分析 紧扣定义 进行计算.,解,学后
3、反思 求函数f(x)平均变化率的步骤: (1)求函数值的增量 ； (2)计算平均变化率 . 解这类题目仅仅是简单的套用公式，解答过程相对简单，只要注意运算过程就可以了.,解析：,分析 直接利用导数公式及四则运算法则进行计算.,题型二 利用求导公式求导数 【例2】求下列函数的导数.,解,学后反思 准确记忆求导公式及四则运算法则是解答本题的关键.,解析,题型三 导数的物理意义及物理上的应用 【例3】一质点运动的方程为s=8- . （1）求质点在1,1+t这段时间内的平均速度； （2）求质点在t=1的瞬时速度.,分析 第（1）问可利用 公式；第（2）问可利用第（1）问的结论求解，也可利用求导公式及四
4、则运算法则求解.,学后反思 本例引导学生理解瞬时速度是物体在t到t+t这段时间内的平均速度 当t趋近于0时的极限，即s对t的导数.导数的概念是通过函数的平均变化率、瞬时变化率、物体运动的瞬时速度、曲线的切线等实际背景引入的，所以在了解导数概念的基础上也应了解这些实际背景的意义.对于作变速运动的物体来说，其位移对时间的函数的导数就是其运动的速度对时间的函数；速度对时间的函数的导数就是其运动的加速度对时间的函数，这是导数的物理意义.利用导数的物理意义可以解决一些相关的物理问题.,解（1）质点在1,1+t这段时间内的平均速度为 (2)质点在t时刻的瞬时速度v=s(t)=-6t,当t=1时，v=-6.
5、,举一反三 3. 以初速度 作竖直上抛运动的物体，在t秒时的高度 为 ,求物体在时刻 时的瞬时速度.,解析： 物体在 时刻的瞬时速度为,题型四 导数的几何意义及几何上的应用 【例4】(12分)已知曲线 . （1）求曲线在点P（2，4）处的切线方程； （2）求过点P（2，4）的曲线的切线方程.,分析 (1)在点P处的切线以点P为切点,关键是求出切线斜率k=f(2). (2)过点P的切线，点P不一定是切点，需要设出切点坐标.,解（1） ,2 在点P（2，4）处的切线的斜率k=y|x=2=4,.3 曲线在点P（2,4）处的切线方程为y-4=4(x-2), 即4x-y-4=04 (2)设曲线 与过点P
6、（2，4）的切线相切于点 , 则切线的斜率k=y|x=x0= 6,切线方程为 , 即 , 8 点P（2，4）在切线上， ,.9 即 , 即 ,解得 或 ,10 所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.12,学后反思（1）求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异：在过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上；而在点P处的切线，必以点P为切点.,(2)准确理解曲线的切线的概念，还要注意以下两个方面： 直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征.直线与曲线只有一个公共点，不能说明直线就是曲线的切线，如抛物线的对称轴与其仅有一个公共点，但对称轴不是抛物线的切
7、线;反之，直线是曲线的切线，也不能说明直线与曲线只有一个公共点，如曲线y=sin x与其切线y=1有无数个公共点. 曲线未必在其切线的“同侧”，如直线y=0虽然“穿过”曲线 ,但它依然是曲线 在点（0，0）处的切线.,举一反三,4. 已知曲线C:y= -3 +2x,直线l:y=kx，且直线l与曲线C相切于点( , )( 0),求直线l的方程及切点的坐标.,解析：y=3 -6x+2,直线y=kx过原点(0,0)及( , ), 解得 . 切点为（ , ）. 把切点坐标代入y=kx得 切线方程为y= x,即x+4y=0.,题型五 复合函数的导数 【例5】求下列函数的导数.,分析 先确定中间变量转化为
8、常见函数，再根据复合函数的求导法则求导，也可直接用复合函数求导法则运算.,解（1）方法一：设 ， ，则,方法二：,（2）,学后反思 求复合函数的导数，关键是理解复合过程，选定中间变量，弄清是谁对谁求导.其一般步骤是: (1)分清复合关系，适当选定中间变量，正确分解复合关系（简称分解复合关系）； （2）分层求导，弄清每一步中哪个变量对哪个变量求导数（简称分层求导）,即：先分解（复合关系）,再求导（导数相乘）.,举一反三,5. 求下列函数的导数.,解析：,（2）,易错警示,【例】求曲线S: 在点A(0,16)处的切线方程.,错解分析 将点A代入曲线S易知点A不在曲线S上,故由导数的几何意义可知,f
9、(0)不是曲线在过A的切线的斜率.,错解 由于f(x)= ，故f(0)=3,即曲线在A点处切线斜率为3,从而切线方程为3x-y+16=0.,正解 设过点A的切线与曲线S切于点M（ ). f(x)= ,由导数的几何意义可知切线的斜率为 . 又由两点连线的斜率公式知 . 联立、得 ,则 ， 故切线方程为9x+y-16=0.,考点演练,解析: 作直线y=x-2的平行线使其与曲线y= -ln x相切，则切点到直线y=x-2的距离最小. 由y=2x- =1,得x=1，或x= (舍去). 切点为（1，1）,它到直线x-y-2=0的距离为 d=,答案:,11. 求下列函数的导数. (1)y=(x+1)(x+2)(x+3);,解析,12. 设t0，点P(t,0)是函数f(x)= +ax与g(x)=b +c的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.试用t表示a,b,c.,将a= 代入上式得b=t.因此c=ab= . 综上所述，a= ,b=t,c= .,解析：函数f(x)的图象过点P(t,0)， f(t)=0，即 +at=0,又t0，故a= . 同理，由g(t)=0得c=-b ,即c=ab. 又f(x)、g(x)在点P(t,0)处有相同的切线， f(t)=g(t),而f(x)=3 +a,g(x)=2bx, 3 +a=2bt,
