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1、 第四次月考数学理试题一、选择题:1.已知复数为纯虚数,其中i虚数单位,则实数x的值为( )A B. C. 2 D. 12.若实数满足,则的最大值为( )A、 B、 C、1 D、23.阅读下边的程序框图,若输出S的值为14,则判断框内可填写( )Ai6 ? Bi8 ? Ci5 ? D.i7 ?4.下列说法中正确的是( )A“”是“”必要条件B命题“,”的否定是“,”C,使函数是奇函数D设,是简单命题,若是真命题,则也是真命题5.三个实数成等差数列,首项是9,若将第二项加2、第三项加20可使得这三个数依次构成等比数列,则的所有取值中的最小值是( )A. 1 B. 4 C. 36 D. 496.已
2、知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合,且双曲线的离心率等于,则该双曲线的方程为( D ) 7.如图,在中,已知,点分别在边上,且,点为中点,则的值为( )A. 2 B. 3 C. 4 D. 58.已知,若关于x的方程没有实根,则a的取值范围是( )A BC D二填空题:9.某校高中部有三个年级,其中高三有学生人,现采用分层抽样法抽取一个容量为的样本,已知在高一年级抽取了人,高二年级抽取了人,则高中部共有学生_3700_人.10.的展开式中常数项为 14 11.某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的表面积是 13812.在极坐标系中,圆的圆心到直线的距离为 13.如图,内接于圆,直
3、线切圆于点,交于点.若,则的长为 . 14.函数,关于方程有三个不同实数解,则实数的取值范围为 已知函数(1)求函数的最小正周期和图象的对称轴方程(2)求函数在区间上的值域 4分某学校高三(1)班学生举行新年联欢活动;准备了10张奖券,其中一等奖的奖券有2张,二等奖的奖券有3张,其余奖券均为3等奖.(I)求从中任意抽取2张,均得到一等奖奖券的概率;(II)从中任意抽取3张,至多有1张一等奖奖券的概率;()从中任意抽取3张,得到二等奖奖券数记为,求的数学期望.【答案】在平面直角坐标系中,已知椭圆:的离心率,且椭圆C上一点到点Q的距离最大值为4,过点的直线交椭圆于点()求椭圆C的方程;()设P为椭
4、圆上一点,且满足(O为坐标原点),当时,求实数的取值范围.【答案】();()或【解析】试题分析:()利用转化为二次函数求最值,求得相应值;()先由点P在椭圆上建立实数与直线的斜率之间的关系,再由求得的范围,进而求得实数的取值范围.试题解析:() (1分) 则椭圆方程为即由点P在椭圆上,得化简得(8分)又由即将,代入得考点:1.椭圆的方程;2.直线与椭圆的位置关系;3.弦长公式. 如图,四边形是正方形,平面, 分别为,的中点()求证:/平面;()求平面与平面所成锐二面角的大小;()在线段上是否存在一点,使直线与直线所成的角为?若存在,求出线段的长;若不存在,请说明理由.如图,建立空间直角坐标系,
5、因为,所以, ,5分因为, 分别为, ,的中点,所以平面与平面所成锐二面角的大小为. 9分所以在线段上存在一点,使直线与直线所成角为,此时.14分已知数列的各项均为正值,对任意,都成立.1)求数列、的通项公式;2)令,求数列的前项和;3)当且时,证明对任意都有成立.【答案】【D】3)设 -(1) 当时, 当且仅当时等号成立. 上述(1)式中,全为正, (法二) = 已知函数(I)若函数f(x)的图象在x0处的切线方程为y2xb,求a,b的值;(II)若函数f(x)在R上是增函数,求实数a的取值范围;(III)如果函数恰好有两个不同的极值点证明:解:(I), 于是由题知1-a=2,解得a=-1 ,于是1=20+b,解得b=14分(II)由题意即恒成立, 恒成立设,则x(-,0)0(0,+)-0+h(x)减函数极小值增函数 h (x)min=h(0)=1, a19分(III)由已知, x1,x2是函数g(x)的两个不同极值点(不妨设x10(若a0时,即g(x)是R上的增函数,与已知矛盾),且, ,两式相减得:,于是要证明,即证明,两边同除以,即证,即证(x1-x2),即证(x1-x2)-0,令x1-x2=t,t0即证不等式当t0时恒成立设, 由(II)知,即, (t)0, (t)在t0,得证 14分