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1、第7周 平面向量的数量积、平面向量应用举例本卷考试内容：2.4平面向量的数量积、2.5平面向量应用举例高频考点突破1.平面向量的夹角将两个平面向量平移到同一起点，这两向量所在的射线所成的角就是向量的夹角，向量夹角的范围是.两个向量夹角为时，它们共线且同向；两个向量夹角为时，它们共线且反向；两个向量夹角为时，它们互相垂直.2平面向量的数量积两个非零向量与的数量积是它们的模与夹角余弦的乘积，数量积是实数并且零向量与任何向量的数量积都是.如果向量、，那么.向量的数量积满足交换律与分配律，但是要注意向量的数量积不满足结合律，一般地.其中是在方向上的投影，是在方向上的投影，向量的投影是实数而不是向量.3
2、.几个常见题型的求法: 、（1）向量的模： ； （2）向量垂直：（3）向量的夹角：4.向量夹角与数量积的符号：设与的夹角为，则（1）与的夹角为为锐角且与不共线且;（1）与的夹角为为钝角且与不共线且5.平面向量的应用：教材中主要讲了平面向量在平面几何与物理学中的应用，一般步骤：（1）用向量表示问题中涉及的元素，将问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成实际问题的关系.自我能力检测A基础训练（40分钟，60分）一选择题1等边的边长为，那么等于（ ） A、 B、 C、 D、解析：本题考查平面向量数量积及向量的夹角的概念 ，选D2.
3、 在四边形中，且，则四边形是()A矩形 B菱形 C直角梯形 D等腰梯形解析：本题考查平面向量的数量积、向量垂直、共线向量等由，得与平行且相等，所以四边形ABCD是平行四边形又，得，所以四边形ABCD是菱形，选B3设、是任意的非零向量，则下列结论正确的是（ ）A B. C.或 D.解析：本题考查平面向量数量积的相关概念，A不对；向量的数量积不满足结合律，所以B不对；当时，所以C不对；由量的平方等于向量模的平方，所以D正确，选D4（2012威远中学高一月考）已知平面向量，若，则等于（ ）A、4 B、2 C、8 D、8解析：本题考查平面向量坐标形式的运算及向量模，所以，选D5（2012福建仙游大济中
4、学高一期中）设 ，若，则的值是（ ）A-2B C2D解析：本题考查向量的数量积的坐标运算及向量垂直的判断，即，解得，选A6已知 ,，向量与的夹角为（ ）A B C夹角为 D 解析：本题考查向量的三角形法则、平行四边形法则、向量的夹角、平面向量的数量积等法1. ，所向量与垂直，即夹角，为选B法2. ,，作，以、为邻边作，则， 由得为菱形，与垂直，选B7平面向量与的夹角为， 则（ ） （A） (B) (C) 4 (D)12解析：本题考查平面向量的夹角、数量积、向量模的坐标形式的运算由已知， ，选B8若，是夹角为的单位向量，且，b3e12e2，则()A1B4 C D.解析：本题考查平面向量的夹角与数
5、量积等由已知，得，选C二填空题9（2012庐江高一期末）已知向量，的夹角为，则向量在方向上的投影是 解析：本题考查向量的夹角、向量的投影的概念 在方向上的投影是，填10已知，则 解析：本题考查向量坐标形式、向量的模、向量垂直的条件法1. 设，则，解得或，所以或法2. ，与垂直的一个单位向量为，或11（2012日照一中高一下期中）已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 .解析：本题考查平面向量的数量积的几何意义及共线向量与的夹角为锐角的条件是且与不共线，解得且.填12（2012金乡一中高一月考）已知中 ，角的对边分别为，为边上的高，以下结论：；为钝角三角形；，其中正确命题的序号是 解析：本题
6、考查平面向量的线性运算、数量积、单位向量、向量的夹角等是正确的，不正确，所以填三解答题13. 已知，是坐标平面上的三点，其坐标分别为，求： 和的大小，并判断的形状.解析：本题考查平面向量的数量积坐标形式运算、向量的夹角、向量的模等法1.由已知，得，又，从而是等腰直角三角形， 法2. 由已知，得， 从而是等腰直角三角形，14（2012金华一中高一期中）已知，（1）求； （2）求向量在向量方向上的投影.解析：本题考查平面向量的数量积及向量投影的概念（1），（2）向量在向量方向上的投影为 15（2012惠州高一期末）已知： 、是同一平面内的三个向量，其中 =（1，2） （1）若|，且，求的坐标；（2
7、）若|=且与垂直，求与的夹角.解：本题考查平面向量的坐标形式、共线向量、平面向量的数量积及平面向量夹角的求法设 由 或 ， （）代入（）中, 16已知：、是的三条高，为三条高线的交点，于，于，求证：考点：本题考查运用平面向量解决平面几何问题的方法证明：，即、三点共线，存在且，使，从而同理可证：于是 ，即B能力提升一选择题1在中,且,则的形状是( )A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.正三角形解析：本题考查平面向量的数量积、平面向量的垂直、向量的模等概念因，均为非零向量,且,得，又，得，同理，得为正三角形2（2012天津河西区年高一期末）定义，其中为向量与的夹角，若，则等于（ ）
8、A B C或 D解析：本题考查平面向量的数量积及其灵活解决问题的能力，所以，所以，选A3（2012天津市五区县高一期末）在，、边的垂直平分线交点，则的值为（ ）A B C D解析：本题考查三角形法则、平行四边形法则、平面向量基本定理及数量积取边中点，、边的垂直平分线交点，选D 二填空题4已知平面向量，,若，则的值为 ； 解析：本题考查平面向量的数量积的坐标运算及共线向量设的夹角为,则.即共线且反向,，填5如图,已知点和单位圆上半部分上的动点，若则向量的坐标为 解析：本题考查向量的数量积及向量数量积的坐标运算依题意,因为,所以,即,解得,所以.三解答题6已知向量,(1)若为直角三角形,求值；(2
9、)若为等腰直角三角形,求值解析：本题考查平面向量的坐标形式、用平面向量垂直的条件以及分类讨论的数学思想(1),若,则,;若,则,得无解;若,则,得,.综上所述,当时,ABC是以A为直角顶点的直角三角形;当时, 是以C为直角顶点的直角三角形.(2)当时,;当时,得,;当时,得,;综上所述,当时,ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形.C高考对接本周内容在高考中主要是考查的重点，主要考点涉及到向量的数量积、向量的模、向量的夹角、向量的垂直判断等，并且这部分内容可以与前面的知识结合起来。有时直接考查有时从坐标的形式考查，在2011年高考中理科主要考查了向量的一般形式的运算及规律，而文科主要考查了向量的
10、坐标形式的运算.1.（2011广东理）若向量 A4 B3 C2 D0解析：本题考查共线向量及向量的数量积，故选D2（2012新课标全国）已知向量夹角为 ，且；则【解析】本题考查平面向量的模，向量的夹角及向量的数量积等填3（2012安徽理）若平面向量满足：；则的最小值是【解析】本题考查平面向量的数量积及向量的模填4.（2011湖南文）设向量满足且的方向相反，则的坐标为 答案：解析：本题考查平面向量坐标形式的求模公式及向量的数乘由题，所以5.（2011江苏）知是夹角为的两个单位向量， 若，则k的值为 解析：本题考查平面向量的夹角及平面向量的数量积由已知，得，由得，而，填6.（2011安徽理）已知向
11、量，满足，且，则与的夹角为 .【命题意图】本题考查向量的数量积，考查向量夹角的求法.属中等难度的题.【解析】，则，即，所以，所以7. （2011天津）3. 已知直角梯形中，是腰上的动点，则的最小值为解析：本题考查平面向量的坐标形式及模的计算公式以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图的直角坐标系由题设，设，则，当且仅当时，等号成立，于是，当时，有最小值8（2012广东理）对任意两个非零的平面向量和，定义，若平面向量、满足，与的夹角，且和都在集合中，则（ ）A.B.1C.D.解析：本题考查平面向量的数量积、夹角及其相关问题的综合应用C.，两式相乘，可得.因为，所以、都是正整数，于是，即，所以.而，所以，于是.
