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1、 2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（福建卷，含解析）第I卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若（是虚数单位），则的值分别等于（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：由已知得，所以，选A考点：复数的概念2若集合，则等于（ ）A B C D【答案】D考点：集合的运算3下列函数为奇函数的是( )A B C D 【答案】D【解析】试题分析：函数和是非奇非偶函数； 是偶函数；是奇函数，故选D考点：函数的奇偶性4阅读如图所示的程序框图，阅读相应的程序若输入的值为1，则输出的值为（ ）A2 B7
2、C8 D128【答案】C【解析】试题分析：由题意得，该程序表示分段函数，则，故选C考点：程序框图5若直线过点，则的最小值等于（ ）A2 B3 C4 D5【答案】C考点：基本不等式6若，且为第四象限角，则的值等于（ ）A B C D 【答案】D【解析】试题分析：由，且为第四象限角，则，则，故选D考点：同角三角函数基本关系式7设，若，则实数的值等于（ ）A B C D【答案】A考点：平面向量数量积8如图，矩形中，点在轴上，点的坐标为且点与点在函数的图像上若在矩形内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率等于（ ）A B C D【答案】B考点：古典概型9某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（
3、 ）A B C D【答案】B【解析】学科网试题分析：由三视图还原几何体，该几何体是底面为直角梯形，高为的直四棱柱，且底面直角梯形的两底分别为，直角腰长为，斜腰为底面积为，侧面积为则其表面积为，所以该几何体的表面积为，故选B考点：三视图和表面积10变量满足约束条件，若的最大值为2，则实数等于（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：将目标函数变形为，当取最大值，则直线纵截距最小，故当时，不满足题意；当时，画出可行域，如图所示， 其中显然不是最优解，故只能是最优解，代入目标函数得，解得，故选C考点：线性规划11已知椭圆的右焦点为短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点若，点到直线的距离不小于，则椭
4、圆的离心率的取值范围是（ ）A B C D【答案】A考点：1、椭圆的定义和简单几何性质；2、点到直线距离公式12“对任意，”是“”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C 充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B考点：导数的应用第II卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡的相应位置.13某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为_【答案】【解析】试题分析：由题意得抽样比例为，故应抽取的男生人数为考点：分层抽样14若中，则_【答案】【解析】
5、试题分析：由题意得由正弦定理得，则，所以考点：正弦定理15若函数满足，且在单调递增，则实数的最小值等于_【答案】【解析】试题分析：由得函数关于对称，故，则，由复合函数单调性得在递增，故，所以实数的最小值等于考点：函数的图象与性质16若 是函数 的两个不同的零点，且 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的值等于_【答案】9考点：等差中项和等比中项三、解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17(本小题满分12分)等差数列中，（）求数列的通项公式；（）设，求的值【答案】（）；（）【解析】试题分析：（）利用基本量法可求得，进而求的通项公式；（）
6、求数列前n项和，首先考虑其通项公式，根据通项公式的不同特点，选择相应的求和方法，本题，故可采取分组求和法求其前10项和试题解析：（I）设等差数列的公差为由已知得，解得所以考点：1、等差数列通项公式；2、分组求和法18（本题满分12分）全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响了的综合指标根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示组号 分组频数 1 2 2 8 3 7 4 3（）现从融合指数在和内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在的概率；（）
7、根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数【答案】（）；（）解法一：（I）融合指数在内的“省级卫视新闻台”记为，；融合指数在内的“省级卫视新闻台”记为，从融合指数在和内的“省级卫视新闻台”中随机抽取家的所有基本事件是：，共个其中，至少有家融合指数在内的基本事件是：，共个所以所求的概率（II）这家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于解法二：（I）融合指数在内的“省级卫视新闻台”记为，；融合指数在内的“省级卫视新闻台”记为，从融合指数在和内的“省级卫视新闻台”中随机抽取家的所有基本事件是：，共个其中，没有家融合指数在内的基本事件是：，共个所以所求的概率（II）同解法一考点：1、
8、古典概型；2、平均值19（本小题满分12分）已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且（）求抛物线的方程；（）已知点，延长交抛物线于点，证明：以点为圆心且与直线相切的圆，必与直线相切【答案】（）；（）详见解析【解析】试题分析：（）利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点距离和到准线距离相互转化本题由可得，可求的值，进而确定抛物线方程；（）欲证明以点为圆心且与直线相切的圆，必与直线相切可证明点到直线和直线的距离相等（此时需确定两条直线方程）；也可以证明，可转化为证明两条直线的斜率互为相反数试题解析：解法一：（I）由抛物线的定义得因为，即，解得，所以抛物线的方程为（II）因为点在抛物线上，所以，由抛物线的
9、对称性，不妨设由，可得直线的方程为由，得，解得或，从而又，所以，所以，从而，这表明点到直线，的距离相等，故以为圆心且与直线相切的圆必与直线相切解法二：（I）同解法一（II）设以点为圆心且与直线相切的圆的半径为因为点在抛物线上，所以，由抛物线的对称性，不妨设由，可得直线的方程为由，得，解得或，从而又，故直线的方程为，从而又直线的方程为，所以点到直线的距离这表明以点为圆心且与直线相切的圆必与直线相切考点：1、抛物线标准方程；2、直线和圆的位置关系20（本题满分12分）如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，垂直于圆所在的平面，且（）若为线段的中点，求证平面；（）求三棱锥体积的最大值；（）若，点在线段上
10、，求的最小值【答案】（）详见解析；（）；（）【解析】试题分析：（）要证明平面，只需证明垂直于面内的两条相交直线首先由垂直于圆所在的平面，可证明；又，为的中点，可证明，进而证明结论；（）三棱锥中，高，要使得体积最大，则底面面积最大，又是定值，故当边上的高最大，此时高为半径，进而求三棱锥体积；（）将侧面绕旋转至平面，使之与平面共面，此时线段的长度即为的最小值试题解析：解法一：（I）在中，因为，为的中点，所以又垂直于圆所在的平面，所以因为，所以平面（II）因为点在圆上，所以当时，到的距离最大，且最大值为又，所以面积的最大值为又因为三棱锥的高，故三棱锥体积的最大值为（III）在中，所以同理，所以在三棱
11、锥中，将侧面绕旋转至平面，使之与平面共面，如图所示当，共线时，取得最小值又因为，所以垂直平分，即为中点从而，亦即的最小值为解法二：（I）、（II）同解法一（III）在中，所以，同理所以，所以在三棱锥中，将侧面绕旋转至平面，使之与平面共面，如图所示当，共线时，取得最小值所以在中，由余弦定理得： 从而所以的最小值为考点：1、直线和平面垂直的判定；2、三棱锥体积21（本题满分12分）已知函数（）求函数的最小正周期；（）将函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移（）个单位长度后得到函数的图象，且函数的最大值为2（）求函数的解析式；（）证明：存在无穷多个互不相同的正整数，使得【答案】（）；（）（）；（）
12、详见解析【解析】试题分析：（）首先利用证明二倍角公式和余弦降幂公式将化为，然后利用求周期；（）由函数的解析式中给减，再将所得解析式整体减去得的解析式为，当取1的时，取最大值，列方程求得，从而的解析式可求；欲证明存在无穷多个互不相同的正整数，使得，可解不等式，只需解集的长度大于1，此时解集中一定含有整数，由周期性可得，必存在无穷多个互不相同的正整数试题解析：（I）因为所以函数的最小正周期（II）（i）将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，再向下平移（）个单位长度后得到的图象又已知函数的最大值为，所以，解得所以（ii）要证明存在无穷多个互不相同的正整数，使得，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整
13、数，使得，即由知，存在，使得由正弦函数的性质可知，当时，均有因为的周期为，所以当（）时，均有因为对任意的整数，所以对任意的正整数，都存在正整数，使得亦即存在无穷多个互不相同的正整数，使得考点：1、三角函数的图像与性质；2、三角不等式22（本小题满分14分）已知函数()求函数的单调递增区间；（）证明：当时，；（）确定实数的所有可能取值，使得存在，当时，恒有【答案】() ；（）详见解析；（）【解析】试题分析：()求导函数，解不等式并与定义域求交集，得函数的单调递增区间；（）构造函数，欲证明，只需证明的最大值小于0即可；（）由（II）知，当时，不存在满足题意；当时，对于，有，则，从而不存在满足题意；当时，构造函数，利用导数研究函数的形状，只要存在，当时即可试题解析：（I），由得解得故的单调递增区间是（II）令，则有当时，所以在上单调递减，故当时，即当时，（III）由（I
