《2015年春高中数学 第二章 推理与证明（含解析）苏教版选修2-2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015年春高中数学 第二章 推理与证明（含解析）苏教版选修2-2（34页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第1课时合情推理归纳推理 教学过程一、 问题情境学生讨论:上述案例中的推理各有什么特点?解从个别事实推演出一般性结论.二、 数学建构问题1什么是推理?解从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理.问题2一般的推理由几个部分组成?解任何一个推理都包含前提和结论两个部分.前提是推理所依据的命题,它告诉我们已知的知识是什么;结论是根据前提推导得出的命题,它告诉我们推理的结论是什么.问题3推理的结论对吗?解推理的结论可能正确,也可能是错误的.问题4上述的推理有什么特点?解从个别事实推演出一般性结论.通过讨论,得出归纳推理的相关概念1. 归纳推理:从个别事实中推演出一般性结论,像这样的推理通
2、常称为归纳推理.2. 归纳推理的思维规程大致为:实验、观察概括、推广猜测一般性结论概念理解归纳推理的特点:(1) 归纳推理的前提是几个已知的特殊现象,归纳所得的结论是尚属未知的一般现象,该结论超越了前提所包含的范围;(2) 由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还需经过逻辑证明和实践检验,因此,它不能作为数学证明的工具;(3) 归纳推理是一种具有创造性的推理.通过归纳推理得到的猜想,可以作为进一步研究的起点,帮助人们发现问题和提出问题.归纳推理基于观察和实验,和“瑞雪兆丰年”等谚语一样,是人们根据长期的实践经验进行归纳的结果.三、 数学运用【例1】蛇是用肺呼吸的,鳄鱼是用肺呼吸的,
3、海龟是用肺呼吸的,蜥蜴是用肺呼吸的,蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物,由此我们猜想:.3(见学生用书P33)处理建议题目简单,让学生自己解答.规范板书解所有的爬行动物都是用肺呼吸的.【例2】 三角形的内角和是180,凸四边形的内角和是360,凸五边形的内角和是540,由此我们猜想:(n-2)180.4(见学生用书P33)处理建议先由学生讨论,说出推理的理由.规范板书解对于凸n边形,n=3时,内角和180=1801;n=4时,内角和360=1802;n=5时,内角和540=1803;由此我们猜想:凸n边形的内角和是(n-2)180.(2) ,由此我们猜想:(a,b,m均为正实数).5处理建议先由
4、学生讨论,说出推理的理由.规范板书解由此我们猜想:(a,b,m均是正实数).或者:0).题后反思根据已知条件猜想的结论可能不止一个,只要猜想合理就可以.【例3】观察下列的图形中小正方形的个数,则第n个图中有个小正方形.6(见学生用书P33)(例3)处理建议先由学生讨论,说出推理的理由.提示当n=1时,小正方形个数为1+2=3,当n=2时,小正方形个数为1+2+3=6,当n=3时,小正方形个数为1+2+3+4=10,当n=4时,小正方形个数为1+2+3+4+5=15,当n=5时,小正方形个数为1+2+3+4+5+6=21,由此我们猜想:第n个图中小正方形个数为1+2+3+(n+1)=.题后反思根
5、据几个已知条件或现象探寻一般规律的方法通常可以从下面几个方面进行思考:(1) 寻找它们的共同特征,如例1;(2) 寻找它们的变化规律,如例2,边数每增加1个,内角和增加180;(3) 结合图形,观察图形的关系或变化特征,运用直观的方法去探求规律.归纳推理的一般模式:S1具有性质P,S2具有性质P,S3具有性质P,Sn具有性质P(S1,S2,S3,Sn是A类事物的具体对象).所以,A类事物具有性质P.【例4】已知数列的每一项都是正数,a1=1,=+1(n=1,2,3,),试归纳出数列an的一个通项公式.(见学生用书P34)处理建议先由学生讨论,说出推理的理由,体会从特殊到一般的归纳过程.规范板书
6、解当n=1时,a1=1=;当n=2时,a2=;当n=3时,a3=;由此我们猜想an的一个通项公式为an=.四、 课堂练习1. (1) 一元一次方程有1个实数根,一元二次方程最多有2个实数根,一元三次方程最多有3个实数根,由此我们猜想:一元n次方程最多有n个实数根.(2) 先看下面的例子,试写出一般性结论.1+3=4,1+3+5=9,1+3+5+7=16,1+3+5+(2n-1)=n2.2. 对大于或等于2的自然数m的n次方幂,有如下分解方式:22=1+3,32=1+3+5,42=1+3+5+7,23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19.根据上述分解规律,有53=21+23
7、+25+27+29;若m3(mN*)的分解中最小的数是73,则m的值为9. 3. 应用归纳推理猜测(nN*)的值.解当n=1时,=3,当n=2时,=33,当n=3时,=333,归纳发现:=.五、 课堂小结1. 归纳推理是从特殊到一般的推理,要会从几个特殊的个例中学会观察,有时候没有个例,要自己去寻找或设计个例.2. 归纳推理基于观察和实验,一些创造发明往往来自于这些看似简单的活动,如“瑞雪兆丰年”等谚语,是人们根据长期的实践经验进行归纳的结果.要在平常的生活中养成观察和思考的习惯,培养创新思维能力.第2课时合情推理类比推理 教学过程一、 问题情境模仿鲁班发明锯子,在我们以前学过的知识和方法中,
8、哪些知识板块可以放在一起进行类比呢? 学生活动:等式与不等式,平面上的圆与空间中的球,等差与等比数列,平面几何与立体几何,椭圆与双曲线,空间向量与平面向量,等等.大家根据自己的直觉提出了这么多可以进行类比的知识,那我们就选几个板块,来看看它们为什么可以进行类比,以及具体怎样类比.1. 试根据等式的性质猜想不等式的性质.2等式的性质:猜想不等式的性质:等式不等式(1) 加法法则:a=ba+c=b+c(2) 减法法则:a=ba-c=b-c(3) 乘法法则:a=bac=bc(4) 除法法则:a=bac=bc(c0)(5) 平方法则:a=ba2=b2教师以问题组的形式让学生自然地建构概念.问题1等式与
9、不等式之间为什么可以进行类比呢?它们在什么方面是相似的?教师启发:“3=3”描述的是相等关系,“43”描述的是不等关系,都是衡量数的大小关系,所以它们有不少的相似性质.问题2如何开展类比呢?学生活动模仿就可以.问题3大家通过等式的运算律猜想了不等式的运算律,得到了新知,那这些结论是否一定正确呢?说明什么?学生活动说明用类比的方式得来的结论不一定正确,需要通过严格的证明来确认.2. 试将平面上的圆与空间的球进行类比.3处理建议结合“锯子”实例引导学生分析、讨论,教师分析判断,理解类比的实质.解圆的定义:平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义:空间内到一个定点的距离等于定长的点的集合.
10、 圆球弦截面圆直径大圆周长表面积圆面积球体积圆的性质球的性质 圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆 与圆心距离相等的两弦相等;与圆心距离不等的两弦不等,距圆心较近的弦较长与球心距离相等的两截面圆相等;与球心距离不等的两截面圆不等,距球心较近的截面圆较大 圆的切线垂直于过切点的半径;经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点球的切面垂直于过切点的半径;经过球心且垂直于切面的直线必经过切点 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心经过切点且垂直于切面的直线必经过球心 以点(x0,y0)为圆心、以r为半径的圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2以点(
11、x0,y0,z0)为球心、以r为半径的球的方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2在教学的过程中,模仿第1题的方式.问题1平面上的圆与空间的球之间为什么可以进行类比呢,它们在什么方面是相似的?学生活动它们的定义是相似的:圆的定义:平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义:空间内到一个定点的距离等于定长的点的集合.它们的形状也是相似的:一个是二维的,平面的;一个是三维的,空间的.圆绕着一条直径旋转一周就形成了球.问题2如何展开类比?学生活动因为圆绕着一条直径旋转一周就形成了球,所以圆的弦、直径、周长、面积类比球中的截面圆、大圆、表面积、体积,只要将圆中的概念改成球中相
12、应的概念就可以.点对应线,线对应面也要注意.它们属于叙述方式上的类比.问题3类比的前提是什么?它的一般步骤是什么?4解进行类比推理时,首先,要找出两类对象之间可以确切表述的相似性或一致性;然后,再用一类对象的性质去推测另一类对象的性质,从而得出一个猜想;最后,检验这个猜想.二、 数学建构概念理解由两个(两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其他方面也相似或相同;或由其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比).简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理.类比推理和归纳推理都是合情推理的一种.类比推理的一般步骤:(1) 找出两类对象之间可以确切表述
13、的相似特征;(2) 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想;(3) 检验猜想.即观察、比较联想、类推猜测新的结论三、 数学运用【例1】类比实数的加法与乘法,并列出它们的类似的性质.5(见学生用书P35)处理建议可以先启发学生讨论交流,了解类比的一般思路,体会类比的实质.规范板书解在实数的加法与乘法之间,可以建立如下的对应关系:加(+) 乘()加数、被加数 乘数、被乘数和 积等等,它们具有下列类似的性质 加法的性质乘法的性质 a+b=b+aab=ba (a+b)+c=a+(b+c)(ab)c=a(bc) a+(-a)=0a=1 a+0=aa0=0题后反思为什么实数的加法和乘
14、法之间有这么多相似之处?当加数相同时,加法运算就可以用乘法来表示.加法和乘法运算可以类比,你想想,还有其他的运算可以类比吗?类比推理的一般模式:A类事物具有性质a,b,c,d,B类事物具有性质a,b,c,(a,b,c与a,b,c相似或相同)所以B类事物具有性质d.【例2】试找出等差与等比数列的类比知识.6(见学生用书P36)处理建议以学生活动为主,合作交流,将全班的同学分为两组,第一组的同学提出等差数列的性质,第二组的同学类比等比数列的性质,第一组的同学再判断类比的方式是否正确.规范板书解(1) 定义:an+1-an=d =q.(2) 通项公式:an=a1+(n-1)d bn=b1qn-1;an=am+(n-m)d bn=bmqn-m.(3) 等差中项:2an+1=an+an+2 =bnbn+2.(4) 若m+n=p+q,且m,n,p,qN*,则am+
