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1、第四节 数列求和,常用数列求和的方法 1.公式法 直接应用等差数列，等比数列的求和公式，以及正整数的平 方和公式，立方和公式等公式求解. 2.倒序相加法 如果一个数列an，与首末两项等距离的两项之和等于首末 两项之和，可采用把正着写和倒着写的两个式子相加，就 得到一个常数列的和，进而求出数列的前n项和.,3.错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对 应项的乘积组成的，此时可把式子Sna1a2an的两 边同乘以公比q，得到qSna1qa2qanq，两式错位相 减整理即可求出Sn. 4.裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵 消，于是前n项和就变成了首
2、尾少数项之和.,5.分组求和法 一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的 数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相 加减.,1.数列(1)nn的前2010项的和S2010为 ( ) A.2010 B.1005 C.2010 D.1005,解析：S20101234520092010 (12)(34)(20092010)1005.,答案：D,2.若数列an的通项公式为an2n2n1，则数列an的前n 项和为 ( ) A.2nn21 B.2n1n21 C.2n1n22 D.2nn22,答案：C,解析：Sn 2n12n2.,3.数列 ，其前n项之和为 ，则在平面直角坐 标系中，直线 (
3、n1)xyn0在y轴上的截距为 ( ) A.10 B.9 C.10 D.9,an=,解析：数列an的前n项和为 所以n9，于是直线(n1)xyn0即为10xy90，所以在y轴上的截距为9.,答案：B,4.数列1, 前10项的和为 .,解析：,=(1+4+7 +28),答案：,5.设等差数列an的前n项和为Sn.若S972，则a2a4a9 .,解析：由等差数列的性质得 S99a572，a58，a2a4a9a1a5a93a524.,答案：24,1.数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然 后通过对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前 n项和的数列来求之.,2.常见类型及方法 (1)ankn
4、b，利用等差数列前n项和公式直接求解； (2)anaqn1，利用等比数列前n项和公式直接求解； (3)anbncn，数列bn，cn是等比数列或等差数列， 采用分组求和法求an的前n项和.,【注意】 应用等比数列前n项和公式时，要注意公比q的取值.,求数列 的前n项和Sn.,将各式变形，使其呈现出某种特点，再利用等差、等比数列的求和公式进行求和.,【解】 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， Sn (n ) (123n)( ) 1 .,1.求下面数列的前n项和： 11， 4， 7， 3n2，,解：前n项和为Sn(11)( 4)( 7) ( 3n2) (1 )147(3n2)， 设S11 ， 当a1时，
5、S1n； 当a1时，S1 ，,S2147(3n2) . 当a1时，SnS1S2n ； 当a1时，SnS1S2 .,1.一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数 列anbn的前n项和时，可采用错位相减法. 2.用乘公比错位相减法求和时，应注意 (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐” 以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式.,【注意】 利用错位相减法求和时，转化为等比数列求和.若公比是个参数(字母)，则应先对参数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别求和.,数列an满足a11，a2
6、2，an2(1cos2 )ansin2 ，n1,2,3，,(1)求a3、a4可利用a1、a2递推，求an时需先化简递推关系； (2)用错位相减法求.,(1)求a3，a4的值，并求数列an的通项公式； (2)设bn Snb1b2bn，求Sn.,【解】 (1)当n1时，a3(1cos2 )a1sin2 a112， 当n2时，a4(1cos2 )a2sin2 2a24. 当n为奇数时，cos2 0，sin2 1， 当n为奇数时，an2an1， a11，a2n1n. 当n为偶数时，cos2 1，sin2 0， 当n为偶数时an22an， a22，a2n2n., Sn (2)由(1)可知bn ， Sn
7、， Sn . ,得：(1 )Sn ， Sn 1 Sn2 .,2.(2010泉州模拟)设数列an的前n项和为Sn2n2，bn为等 比数列，且a1b1，b2(a2a1)b1. (1)求数列an和bn的通项公式； (2)设cn 求数列cn的前n项和Tn.,解：(1)当n1时，a1S12； n2时，anSnSn12n22(n1)24n2，当n1时，满足an4n2， 故an的通项公式为an4n2， 即an是a12，公差d4的等差数列. 设bn的公比为q，则b1qdb1，d4， q= 故bnb1qn12 即bn的通项公式为bn=,Tnc1c2cn 1341542(2n1)4n1， 4Tn14342543(
8、2n3)4n1(2n1)4n. 两式相减得 3Tn12(4142434n1)(2n1)4n (6n5)4n5. Tn (6n5)4n5.,1.利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第 一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项， 再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数， 使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等. 2.一般情况如下，若an是等差数列，则 此外根式在分母上时可 考虑利用有理化因式相消求和.,3.常见的拆项公式有：,(1) (2) (3) (4),已知数列an，bn满足：a1 ，anbn1， bn1 (1)求b1，b2，b3，b4； (2)求数列bn的通
9、项公式； (3)设Sna1a2a2a3a3a4anan1，求Sn.,由anbn1易得 bn+1 构造新数列,【解】 (1)bn1 ， a1 ，b1 ， b2 ，b3 ，b4 . (2)bn11 1， 1 ， 数列 是以4为首项，1为公差的等差数列，,3.已知函数yf(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f(x) 6x2.数列an的前n项和为Sn，点(n，Sn)(nN*)均在函 数yf(x)的图象上. (1)求数列an的通项公式； (2)设bn ，Tn是数列bn的前n项和，求使得Tn 对所有nN都成立的最小正整数m.,解：(1)依题意可设f(x)ax2bx(a0)， 则f(x)2axb. 由f(x
10、)6x2得a3，b2， f(x)3x22x. 又由点(n，Sn)(nN)均在函数yf(x)的图象上， 得Sn3n22n. 当n2时， anSnSn1(3n22n)3(n1)22(n1) 6n5； 当n1时，a1S1312211615. 所以an6n5(nN).,（2）由（1）得bn=,故Tn=,因此，使得 成立的m必须且仅需满足 即m10，故满足要求的最小正整数m为10.,数列求和与不等式、函数等其他知识的综合问题可以很好地考查逻辑推理能力，近几年的新课标高考试题中此类问题时有出现，因此，这类综合题有可能成为高考的命题方向.2009年全国卷第20题综合考查了数列的递推公式、等比数列的前n项和以
11、及分组求和和错位相减法求和等基础知识.,(2009全国卷)在数列an中，a11，an1(1 )an (1)设bn ，求数列bn的通项公式； (2)求数列an的前n项和Sn.,解 (1)由已知得b1a11，且 ， (1分) 即bn1bn ， (2分) 从而b2b1 ， b3b2 ， bnbn1 (n2)， (4分),于是bnb1 2 (n2) 又b11，故所求的通项公式bn2 . (6分) (2)由(1)知，ann(2 )2n . (7分) Sn(242n)(1 )， (8分),设Tn1 ， Tn 得， (9分) Tn1 (10分) 2 ，,Tn4 ， (11分) Snn(n1) 4. (12分),考生在解答本题时主要出现以下失误：(
