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1、第2讲数列求和及综合应用【选题明细表】知识点、方法题号利用公式法或分组转化法求和3、6、14、15、17求通项公式1、4、9利用裂项相消法或错位相减法求和2、8、12、16数列的综合问题5、7、10、11、13基础把关1.已知数列an的前n项和Sn=3n-1,则其通项公式an等于(B)(A)32n-1(B)23n-1(C)2n(D)3n解析:an=Sn-Sn-1=3n-3n-1=23n-1(n2),又n=1时,S1=a1=2适合,an=23n-1,故选B.2.已知函数f(x)=x2+2bx过(1,2)点,若数列的前n项和为Sn,则S2014的值为(A)(A)(B)(C)(D)解析:由题意得2=
2、12+2b1,b=,f(x)=x2+x,=-,S2014=1-+-+-=1-=,故选A.3.已知正项数列an中,a1=1,a2=2,2=+(n2),则a6等于(D)(A)16(B)8(C)2(D)4解析:由2=+(n2)可知数列是等差数列,且以=1为首项,公差d=-=4-1=3,所以数列的通项公式为=1+3(n-1)=3n-2,所以=36-2=16,又an0,所以a6=4,故选D.4.已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn=(B)(A)2n-1(B)()n-1(C)()n-1(D)解析:因为an+1=Sn+1-Sn,所以由Sn=2an+1得,Sn=2(Sn+1-Sn)
3、,整理得3Sn=2Sn+1,所以=,所以数列Sn是以S1=a1=1为首项,q=为公比的等比数列,所以Sn=()n-1,故选B.5.在等差数列an中,an0,且a1+a2+a10=30,则a5a6的最大值是(C)(A)3(B)6(C)9(D)36解析:在等差数列中,a1+a2+a10=30,得5(a1+a10)=30,即a1+a10=a5+a6=6,由a5+a62,所以62,即a5a69,当且仅当a5=a6=3时取等号,所以a5a6的最大值为9,故选C.6.已知函数f(n)=且an=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a3+a100等于(B)(A)0 (B)100(C)-100(D)10200
4、解析:由题意,a1+a2+a100=12-22-22+32+32-42-42+52+992-1002-1002+1012=-(1+2)+(3+2)-(99+100)+(101+100)=100.故选B.7.(2013高考江西卷)某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数n(nN*)等于.解析:本题是等比数列前n项和的实际应用题,设每天植树的棵数组成的数列为an,由题意可知它是等比数列,且首项为2,公比为2,所以由题意可得100,即2n51,而25=32,26=64,nN*,所以n6.答案:68.若an是数列的前n项积,设bn=anan+
5、1,则数列bn的前n项和Sn=.解析:an=,bn=-,Sn=-+-+-=-=.答案:9.(2013高考新课标全国卷)若数列an的前n项和Sn=an+,则an的通项公式是an=.解析:当n=1时,由已知Sn=an+,得a1=a1+,即a1=1;当n2时,Sn-1=an-1+,所以an=Sn-Sn-1=(an+)-(an-1+)=an-an-1,所以an=-2an-1,所以数列an是等比数列,其中首项a1=1,公比q=-2,所以an=(-2)n-1.答案:(-2)n-110.已知an=n2+n,数列的前n项和为Sn,数列bn的通项公式为bn=n-8,则bnSn的最小值为.解析:由an=n2+n得
6、=-,Sn=1-+-+-=.则bnSn=n-9+=n+1+-10-4,当且仅当n=2时取等号.答案:-411.(2013高考辽宁卷)已知等比数列an是递增数列,Sn是an的前n项和.若a1,a3是方程x2-5x+4=0的两个根,则S6=.解析:由题a1=1,a3=4,公比q=2.S6=26-1=63.答案:6312.等差数列an中,2a1+3a2=11,2a3=a2+a6-4,其前n项和为Sn.(1)求数列an的通项公式;(2)设数列bn满足bn=,其前n项和为Tn,求证:Tn0,Tn2014时,n的最小值是(C)(A)7(B)9(C)10(D)11解析:由题意得,an=2n-1,bn=2n-
7、1,cn=2n-1,Tn=c1+c2+cn=(21+22+2n)-n=-n=2n+1-2-n.由Tn2014得2n+1-n2016,当n=9时,210-92016.nmin=10.故选C.14.已知在正项等比数列an中,a1=1,a2a4=16,则|a1-12|+|a2-12|+|a8-12|=(B)(A)224(B)225(C)226(D)256解析:a2a4=16,an0,a3=4,即a1q2=4,又a1=1,q=2,an=2n-1,当n4时,|an-12|=12-an,当n5时|an-12|=an-12.|a1-12|+|a2-12|+|a8-12|=124-(a1+a2+a3+a4)+
8、a5+a6+a7+a8-124=124-+-124=225,故选B.15.数列an满足an+1+(-1)nan=2n-1,则an的前60项和为.解析:an+1+(-1)nan=2n-1,当n=2k(kN*)时,a2k+1+a2k=4k-1,当n=2k+1(kN)时,a2k+2-a2k+1=4k+1,由+得a2k+a2k+2=8k.令k=1,3,5,29可得:a2+a4=81,a6+a8=83,a10+a12=85,a58+a60=829,把以上15个等式相加得a2+a4+a6+a60=8=1800.又由知a2k+1=a2k+2-(4k+1),令k=0,1,2,3,29可得:a1=a2-(40+
9、1),a3=a4-(41+1),a5=a6-(42+1),a59=a60-(429+1)把以上30个等式相加得a1+a3+a5+a59=(a2+a4+a6+a60)-4(0+1+2+29)+30=1800-+30=30.a1+a2+a3+a60=1800+30=1830.答案:183016.已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,首项为a1,且,an,Sn成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)若=(),设cn=,求数列cn的前n项和Tn.解:(1)由题意知2an=Sn+,an0,当n=1时,2a1=a1+,a1=.当n2时,Sn=2an-,Sn-1=2an-1-,两式相减得an=2
10、an-2an-1,整理得=2,数列an是以为首项,2为公比的等比数列.an=a12n-1=2n-1=2n-2.(2)=22n-4,bn=4-2n,cn=,即cn=.则Tn=c1+c2+c3+cn,即Tn=+.Tn=+,则Tn=4+-.Tn=8-(+)+=8-+=8-8(1-)+=+=+=.即Tn=.17.(2014宁波二模)设等差数列an的前n项和为Sn,且a2=8,S4=40.数列bn的前n项和为Tn,且Tn-2bn+3=0,nN*.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)设cn=求数列cn的前n项和Pn.解:(1)由题意,得an=4n.Tn-2bn+3=0, 当n=1时,b1=3,当n2时,Tn-1-2bn-1+3=0,-,得bn=2bn-1,(n2),数列bn为等比数列,bn=32n-1.(2)cn=当n为偶数时,Pn=(a1+a3+an-1)+(b2+b4+bn)=+=2n+1+n2-2.当n为奇数时,法一n-1为偶数,Pn=Pn-1+cn=2(n-1)+1+(n-1)2-2+4n=2n+n2+2n-1.法二Pn=(a1+a3+an-2+an)+(b2+b4+bn-1)=+=2n+n2+2n-1.Pn=
