《2015届高三数学 专项精析精炼 2013年考点24 等比数列及其前n项和》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2015届高三数学 专项精析精炼 2013年考点24 等比数列及其前n项和(8页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、考点24 等比数列及其前n项和一、选择题1. (2013新课标高考文科6)设首项为1,公比为的等比数列an的前n项和为Sn,则( )A. B. C. D. 【解题指南】利用等比数列的前n项和公式求解.【解析】选D.方法一:因为等比数列的首项为1,公比为,所以.方法二:,观察四个选项可知选D.2. (2013大纲版全国卷高考文科7)与(2013大纲版全国卷高考理科6)相同已知数列满足( )A. B. C. D.【解题指南】由求出数列的公比,再利用等比数列的求和公式确定数列的前项的和.【解析】选C.因为,则,又,所以数列是首项为,公比的等比数列.故3.(2013福建高考理科9)已知等比数列的公比为
2、,记,cn=am(n-1)+1am(n-1)+2am(n-1)+m,则以下结论一定正确的是()A. 数列为等差数列,公差为 B. 数列为等比数列,公比为 C. 数列为等比数列,公比为 D. 数列为等比数列,公比为 【解题指南】如何判定一个数列是等差或等比数列,注意一定是作差,或作比,看看是不是常数.【解析】选C.显然,不可能是等比数列;是等比数列;证明如下:4.(2013江西高考理科3)等比数列x,3x+3,6x+6,的第四项等于A.-24B.0C.12D.24【解题指南】先根据前三项求出x的值,再求第四项.【解析】选A.因为等比数列的前三项为x,3x+3,6x+6,所以,即,解得或.当时,不
3、合题意,舍去.故.此时等比数列的前三项为-3,-6,-12.所以等比数列的首项为-3,公比为2,所以等比数列的第四项为.5.(2013新课标全国高考理科T3)等比数列an的前n项和为Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=() A. B. C. D.【解析】选C.由S3=a2+10a1,得a1+a2+a3=a2+10a1,即a3=9a1,即a1q2=9a1,解得q2=9,又因为a5=9,所以a1q4=9,解得a1=二、填空题6.(2013江苏高考数学科T14) 在正项等比数列中,则满足的最大正整数的值为 【解题指南】确定首项与公比,对式子a1+a2+ana1a2an化简,利用单调性进
4、行验证求出最值.【解析】设正项等比数列的首项为,公比为(q0),则由得,即,解得,代入,式子变为,即,化简得,当,即时,当时经验证时当时,故所求最大正整数的值为12.【答案】127.(2013江西高考文科12)某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵树是前一天的2倍,则需要的最少天数n(nN*)等于 .【解题指南】转化为等比数列前n项和的问题.【解析】记第n天植树的棵树为,则数列是以2为首项,2为公比的等比数列,解得n=6.【答案】68.(2013北京高考文科11)与(2013北京高考理科10)相同若等比数列an满足a2a4=20,a3a5=40,则公比q= ;前n项
5、和Sn= .【解题指南】把a2a4=20,a3a5=40作比可求出公比,再代回求出首项,最后求前n项和。【解析】,。【答案】2 9. (2013广东高考文科11)设数列是首项为,公比为的等比数列,则 【解析】由题意知,得.【答案】15.10. (2013辽宁高考文科14)与(2013辽宁高考理科14)相同已知等比数列an是递增数列,Sn是an的前n项和.若a1,a3是方程x2-5x+4=0的两个根,则S6=.【解题指南】利用方程求得a1,a3的值,结合等比数列,求出基本量(首项和公比),进而解决求和问题.【解析】因为方程x2-5x+4=0的根为1,4,而等比数列an是递增数列,所以a1=1,a
6、3=4.由等比数列的通项公式得,a3=a1q2=q2=4q=2.又因为等比数列an是递增数列,故q=2.从而【答案】三、解答题11. (2013四川高考理科16)在等差数列中,且为和的等比中项,求数列的首项、公差及前项和【解题指南】本题在求解过程中,首先要分析清楚数列中有特点的项,即等差数列中为和的等比中项,设出公差,利用方程的思想求解.【解析】设该数列公差为d,前n项和为Sn,由已知,可得2a1+2d=8,(a1+3d)2=(a1+d)(a1+8d).所以a1+d=4,d(d-3a1)=0,解得a1=4,d=0,或a1=1,d=3,即数列an的首项为4,公差为0,或首项为1,公差为3.所以,
7、数列的前n项和Sn=4n或Sn=.12. (2013四川高考文科16)在等比数列中,且为和的等差中项,求数列的首项、公比及前项和。【解题指南】本题在求解过程中,首先需要明确等比数列中为和的等差中项,然后设出公比,利用方程的思想进行求解.【解析】设该数列的公比为,由已知可得,所以,解得或,由于,因此不合题意,应舍去.故公比,首项,所以数列的前项和.13. (2013天津高考文科19)已知首项为的等比数列的前n项和为, 且成等差数列. () 求数列的通项公式; () 证明. 【解题指南】() 由成等差数列求等比数列的公比,然后写出其通项公式;() 写出等比数列的前n项和为,表示,分n为奇数或偶数讨
8、论起最大值,进而得出证明.【解析】() 设等比数列的公比为,由成等差数列,所以,可得于是又所以等比数列的通项公式为()当n为奇数时,随n的增大而减小,所以当n为偶数时,随n的增大而减小,所以故对于,有14.(2013天津高考理科T19)已知首项为的等比数列an不是递减数列,其前n项和为Sn(nN*),且S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列.(1)求数列an的通项公式.(2)设,求数列Tn的最大项的值与最小项的值.【解题指南】(1)由S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列求等比数列an的公比,然后写出其通项公式.(2)写出等比数列an的前n项和为Sn,表示,分n为奇数或偶数讨论其最
9、值.【解析】(1) 设等比数列的公比为,由S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4成等差数列,所以S5+a5-S3-a3=S4+a4-S5-a5,即4a5=a3,于是又an不是递减数列且所以故等比数列的通项公式为(2)由(1) 得当n为奇数时,随n的增大而减小,所以故当n为偶数时,随n的增大而增大,所以故综上,对于,总有所以数列的最大项的值为与最小项的值为15. (2013陕西高考理科17)设是公比为q的等比数列. () 推导的前n项和公式; () 设q1, 证明数列不是等比数列. 【解题指南】推导数列的前n项和公式要注意分情况讨论;证明数列不是等比数列,一般要用反证法.【解析】() 分两种情况讨论。.上面两式错位相减: 。综上,() 使用反证法。设是公比q1的等比数列, 假设数列是等比数列.则整理得均与题设矛盾,故数列不是等比数列.16. (2013湖北高考理科T18)已知等比数列满足: ()求数列的通项公式;()是否存在正整数m,使得?若存在,求m的最小值;若不存在,说明理由.【解题指南】()用a1和公比q表示,解方程组.()求和。【解析】()设等比数列的公比为q,则由已知可得 解得 或,故,或. ()若,则,故是首项为,公比为的等比数列,从而. 若,则,故是首项为,公比为的等比数列,从而 故. 综上,对任何正整数m,总有.故不存在正整数,使得成立.