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1、提能专训(十)等差与等比数列一、选择题1(2014武威凉州区一诊)等比数列an的前n项和为Sn,S52,S106,则a16a17a18a19a20()A54 B48 C32 D16答案D解析解法一:由等比数列的性质,知S5,S10S5,S15S10,S20S15仍成等比数列,2,4,8,16,故选D.解法二:S5,S10,1q53,q52.a16a17a18a19a20q15(a1a2a3a4a5)23S58216,故选D.2(2014广西四市联考)已知等比数列an的前n项和Sn,若a2a32a1,且a4与2a7的等差中项为,则S5()A35 B33 C31 D29答案C解析由得q3,q.a1
2、16.S53231,故选C.3(2014南阳三次联考)等差数列an中,如果a1a4a739,a3a6a927,则数列an前9项的和为()A297 B144 C99 D66答案C解析由得a4a622.S99999,故选C.4(2014郑州质检)已知各项不为0的等差数列an满足a42a3a80,数列bn是等比数列,且b7a7,则b2b12等于()A1 B2 C4 D8答案C解析a42a3a80,2aa43a8a73d3(a7d)4a7,a72,b72.b2b12b4,故选C.5(2014陕西质检三)已知a,b,c是三个不同的实数若a,b,c成等差数列,且b,a,c成等比数列,则abc()A214
3、B(2)14 C124 D1(2)4答案B解析依题意有检验各选项,可知B正确6(2014合肥二检)数列an满足a12,an,其前n项积为Tn,则T2 014()A. B C6 D6答案D解析由an,得an1,因为a12,所以a23,a3,a4,a52,由a5a1,得数列an的周期为4,因为a1a2a3a41,所以T2 014T50342T2a1a26,故选D.7(2014合肥一中、安师大附中等六校素质测试)在正项等比数列an中,an1an,a2a86,a4a65,则()A. B. C. D.答案D解析由题意可知,a4a66,且a4a65,解得a43,a62,所以,故选D.8(2014洛阳统考)
4、已知数列an是等差数列,且a3a65,数列bn是等比数列,且b5,则b2b8()A1 B5 C10 D15答案D解析由等差数列的通项公式知,a3a62a17d(其中d为等差数列an的公差),由等比数列的性质知,b2b8ba25a56a121d3(2a17d)3(a3a6)15,故选D.9(2014合肥第一次质量检测)已知数列an的前n项和为Sn,并满足an22an1an,a54a3,则S7()A7 B12 C14 D21答案C解析因为an22an1anan2an2an1,所以数列an是等差数列,因为a54a3,所以a3a54,所以S714,故选C.10(2014安徽六校联考)数列an的首项为3
5、,bn为等差数列,且bnan1an(nN*),若b32,b1012,则a8()A0 B3 C8 D11答案B解析设bn的公差为d,b10b37d12(2)14,d2.b32,b1b32d246.b1b2b77b1d7(6)2120.又b1b2b7(a2a1)(a3a2)(a8a7)a8a1a830,a83.故选B.11(2014辽宁五校联考)设函数f(x)ex(sin xcos x)(0x2 012),则函数f(x)的各极小值之和为()A BC D答案D解析f(x)(ex)(sin xcos x)ex(sin xcos x)2exsin x,若f(x)0,则x(2k,2k),kZ.所以当x22
6、k,kZ时,f(x)取得极小值,其极小值为f(22k)e2k2sin(22k)cos(22k)e2k2(01)e2k2,kZ.因为0x2 012,又在两个端点的函数值不是极小值,所以k0,1 004,所以函数f(x)的各极小值构成以e2为首项,以e2为公比的等比数列,共有1 005项,故函数f(x)的各极小值之和为S1 005e2e4e2 010,故选D.12在等差数列an中,a12 012,其前n项和为Sn,若2 002,则S2 014的值等于()A2 011 B2 012 C2 014 D2 013答案C解析等差数列中,Snna1d,a1(n1),即数列是首项为a12 012,公差为的等差
7、数列因为2 002,所以(2 01210)2 002,1,所以S2 0142 014(2 012)(2 0141)12 014,故选C.二、填空题13(2014浙江名校联考)已知等比数列an的前n项和为Sn,且S1,2S2,3S3成等差数列,则an的公比为_答案解析设等比数列an的公比为q,则由S1,2S2,3S3成等差数列,得4S2S13S3,4(a1a1q)a13a13a1q3a1q2,解之,得q(q0舍去)14(2014衡水中学二调)在等比数列an中,若a7a8a9a10,a8a9,则_.答案解析,而a8a9a7a10,.15(2014上海静安区一模)已知数列an(nN*)的公差为3,从
8、an中取出部分项(不改变顺序)a1,a4,a10,组成等比数列,则该等比数列的公比是_答案2解析a4a13da19,a10a19da127,由aa1a10,得(a19)2a1(a127),解得a19.从而得公比q2.16(2014北京顺义一模)设等差数列an满足公差dN*,anN*,且数列an中任意两项之和也是该数列的一项若a135,则d的所有可能取值之和为_答案364解析设an,am(mn)是等差数列an中的任意两项,由已知,得an35(n1)d,am35(m1)d,则aman235(mn2)d,设aman是数列an中的第k项,则有aman35(k1)d,即235(mn2)d35(k1)d,
9、d,dN*,m,n,kN*,所以k1(mn)35,34,33,32,31,30,则d的所有可能取值为1,3,32,33,34,35,其和为364.三、解答题17(2014浙江名校联考)已知an是一个公差大于0的等差数列,且满足a3a655,a2a716.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足b1a1且bnanbn1(n2,nN*),求数列bn的通项公式解:(1)由题意,得公差d0,d2,an2n1.(2)bnanbn1(n2,nN*),bnbn12n1(n2,nN*)bn(bnbn1)(bn1bn2)(b2b1)b1(n2,nN*),且b1a11,bn2n12n331n2(n2,nN
10、*)bnn2(nN*)18(2014西安八校联考)在各项均为正数的等差数列an中,对任意的nN*都有a1a2ananan1.(1)求数列an的通项an;(2)设数列bn满足b11,bn1bn2an,求证:对任意的nN*都有bnbn20,得a22.令n2,得a1a2a2a3,即a12a12d,得d1.从而a1a2d1.故an1(n1)1n.(2)证明:因为ann,所以bn1bn2n,所以bn(bnbn1)(bn1bn2)(b2b1)b12n12n2212n1.又bnbn2b(2n1)(2n21)(2n11)22n0,所以bnbn2b.19(2014陕西质检)在等比数列an中,a12,且an1an
11、2n.(1)求数列an的通项an;(2)数列an中是否存在这样的两项ap,aq(pq),使得apaq2 014?若存在,求符合条件的所有的p,q;若不存在,请说明理由解:(1)a2a121,a3a222,anan12n1(n2)各式相加,可得ana121222n122n(n2)又a1221,an2n.(2)假设存在这样的两项ap,aq(pp2时,apaq2p2q2p(12qp)是4的倍数,但2 014不是4的倍数当p1时,2 014apaq212q,故2q2 012.不存在正整数q使2q2 012,不存在满足条件的p,q.20(2014武汉武昌区调研)在公差不为零的等差数列an中,已知a11,且a1,a2,a5依次成等比数列数列bn满足bn12bn1,且b13.(1)求an,bn的通项公式;(2)设数列的前n项和为Sn,试比较Sn与1的大小解:(1)因为a11,且a1,a2,a5依次成等比数列,所以aa1a5,即(1d)21(14d),所以d22d0,解得d2(d0不合要求,舍去),所以an12(n1)2n1.因为bn12bn1,所以bn112(bn1),所以bn1是首项为b112,公比为2的等比数列所以bn122n12n.所以bn2n1.(