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1、第五章 概率第2讲 几何概型一、必记2个知识点1几何概型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型2几何概型的概率公式：P(A)二、必明1个易误区易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是基本事件的发生是等可能的，不同之处是几何概型的基本事件的个数是无限的，古典概型中基本事件的个数是有限的三、必会3个方法几何概型的常见类型的判断方法(1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；(2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件
2、就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；(3)与体积有关的几何概型(方法参见考点二“类题通法”)考点一与长度、角度有关的几何概型1(2013石家庄模拟)在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为()A.B. C. D.解析：选C如图，设圆的半径为r，圆心为O，AB为圆的一条直径，CD为垂直AB的一条弦，垂足为M，若CD为圆内接正三角形的一条边，则O到CD的距离为，设EF为与CD平行且到圆心O距离为的弦，交直径AB于点N，所以当过AB上的点且垂直AB的弦的长度超过CD时，该点在线段MN上变化，所以所求概率P.2.(2013北京西城模拟
3、)如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在30角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在yOT内的概率为_解析：如题图，因为射线OA在坐标系内是等可能分布的，则OA落在yOT内的概率为.答案：3(2013福建高考)利用计算机产生01之间的均匀随机数a，则事件“3a10”发生的概率为_解析：因为0a1，由3a10得0”发生的概率为.答案： 类题通法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)然后求解，要特别注意“长度型”与“角度型”的不同解题的关键是构建事件的区域(长度、角度)考点二与体积有关的几何概型典例(2013深圳二模)一只小蜜蜂在一个棱长为4的正方
4、体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为()A. B. C. D.解析根据几何概型知识，概率为体积之比，即P.答案A 针对训练在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCDA1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为()A. B1 C. D1解析：选B正方体的体积为：2228，以O为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为：r313，则点P到点O的距离大于1的概率为：11.考点三与面积有关的几何概型与面积有关的几何概型是近几年高考的热点之一，归纳起来常见
5、的命题角度有：(1)与三角形、矩形、圆等平面图形面积有关的问题；(2)与线性规划知识交汇命题的问题；(3)与平面向量的线性运算交汇命题的问题角度一与三角形、矩形、圆等平面图形面积有关的问题1(2013陕西高考)如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是()A1 B.1 C2 D.解析：选A由题意知，两个四分之一圆补成半圆其面积为12，矩形面积为2，则所求概率为1.角度二与平面向量的线性运算交汇命题的问题3已知P是ABC所在平面内
6、一点，20，现将一粒黄豆随机撒在ABC内，则黄豆落在PBC内的概率是()A. B. C. D.解析：选D由题意可知，点P位于BC边的中线的中点处记黄豆落在PBC内为事件D，则P(D).课后作业 试一试1在长为6 m的木棒AB上任取一点P，使点P到木棒两端点的距离都大于2 m的概率是()A. B. C. D.解析：选B将木棒三等分，当P位于中间一段时，到两端A，B的距离大于2 m，P.2四边形ABCD为长方形，AB2，BC1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为()A. B1 C. D1解析：选B如图，要使图中的点到O的距离大于1，则该点需取在图中阴影部
7、分，故概率为P1.练一练1.如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为_解析：设阴影区域的面积为S，则，S.答案：2若不等式组表示的平面区域为M，(x4)2y21表示的平面区域为N，现随机向区域内抛一粒豆子，则该豆子落在平面区域N内的概率是_解析：如图所示：P.答案：做一做1已知ABC中，ABC60，AB2，BC6，在BC上任取一点D，则使ABD为钝角三角形的概率为()A.B. C. D.解析：选C如图，当BE1时，AEB为直角，则点D在线段BE(不包含B，E点)上时，ABD为钝角三角形；当BF4时，BAF为直
8、角，则点D在线段CF(不包含C，F点)上时，ABD为钝角三角形所以ABD为钝角三角形的概率为.2在区间5,5内随机地取出一个数a，则恰好使1是关于x的不等式2x2axa20的一个解的概率为()A0.3 B0.4 C0.6 D0.7解析：选D由已知得2aa22或a1.故当a5，1)(2,5时，1是关于x的不等式2x2axa20的一个解故所求概率为P0.7.3(2014淄博模拟)在长为12 cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，则这个正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间的概率为()A. B. C. D.解析：选A正方形的面积为36 cm2时，边长AM6，面积为81 cm2
9、时，边长AM9，P.4(2013海淀模拟)在一个边长为1 000米的正方形区域的每个顶点处都设有一个监测站，若向此区域内随机投放一个爆破点，则爆破点距离监测站200米内都可以被监测到，那么随机投放一个爆破点被监测到的概率为_解析：根据题几何概型得所求的概率为P.答案：5(2013济南调研)已知向量a(2,1)，b(x，y)(1)若x1,0,1,2，y1,0,1，求向量ab的概率；(2)若x1,2，y1,1，求向量a，b的夹角是钝角的概率解：(1)设“ab”为事件A，由ab，得x2y.基本事件空间为(1，1)，(1,0)，(1,1)，(0，1)，(0,0)，(0,1)，(1，1)，(1,0)，(
10、1,1)，(2，1)，(2,0)，(2,1)，共包含12个基本事件；其中A(0,0)，(2,1)，包含2个基本事件则P(A)，即向量ab的概率为.(2)设“a，b的夹角是钝角”为事件B，由a，b的夹角是钝角，可得ab0，即2xy0，且x2y.基本事件空间为B则由图可知，P(B).即向量a，b的夹角是钝角的概率是.提升考能1用一平面截一半径为5的球得到一个圆面，则此圆面积小于9的概率是()A. B. C. D.解析：选B依题意得截面圆面积为9的圆半径为3，球心到该截面的距离等于4，球的截面圆面积小于9的截面到球心的距离大于4，因此所求的概率等于.2函数f(x)x2x2，x5,5，那么任取一点x0
11、5,5，使f(x0)0的概率是()A1 B. C. D.解析：选C将问题转化为与长度有关的几何概型求解，当x01,2时，f(x0)0，则所求概率P.3.如图，M是半径为R的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点N，连接MN，则弦MN的长度超过R的概率是()A. B. C. D.解析：选D由题意知，当MNR时，MON，所以所求概率为.4.如图，圆的直径是正方形边长的一半，圆位于正方形的内部现随意地将飞镖掷向正方形内，则飞镖击中圆面部分的概率是()A. B. C. D.解析：选D设圆的半径为1，则正方形的边长为4，有正方形的面积为16，圆的面积为，根据题意，飞镖击中圆面部分的概率即圆的面积与正方
12、形的面积比，即其概率为，选D.5(2014惠州调研)在区间1,5和2,4上分别取一个数，记为a，b，则方程1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为()A. B. C. D.解析：选B方程1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆，故即化简得又a1,5，b2,4，画出满足不等式组的平面区域，如图阴影部分所示，求得阴影部分的面积为，故所求的概率P.6(2013昆明质检)在区间0,10上任取一个实数a，使得不等式2x2ax80在(0，)上恒成立的概率为_解析：要使2x2ax80在(0，)上恒成立，只需ax2x28，即a2x在(0，)上恒成立又2x28，当且仅当x2时等号成立，故只需a8，因此0a8.由几何概型的概率计算公式可知所求概率为.答案：7已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是.(1)求n的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.()记“ab2”为事件A，求事件A的概率；()在区间0,2内任取2个实数x，y，求事件“x2y2(ab)2恒成立”的概率解：
