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1、阶段检测(四)(时间:120分钟满分:150分)【选题明细表】知识点、方法题号三视图、表面积、体积1、3、12空间线面位置关系的判断、证明2、4、15、20空间角10、13、14空间向量的应用16、19、21、22三角函数及解三角形、平面向量7、17、18常用逻辑用语6不等式与数列5、8、9、11一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.如图所示,三棱锥PABC的底面ABC是直角三角形,直角边长AB=3,AC=4,过直角顶点的侧棱PA平面ABC,且PA=5,则该三棱锥的正视图是(D)解析:三棱锥的正视图即是光线从三棱锥的前面向后面投影所得到投影图形,即PB、CB投影分别与PA、C
2、A重合,正视图即与PCA重合,由AC=4,PA=5,可知选项D符合题意,故选D.2.(2014浙江省高三十二校联考)设m,n是两条异面直线,下列命题中正确的是(A)(A)过m且与n平行的平面有且只有一个(B)过m且与n垂直的平面有且只有一个(C)m与n所成的角的范围是(0,)(D)过空间一点P与m、n均平行的平面有且只有一个解析:若选项B对,则应有mn,而m,n未必垂直,所以选项B错;m与n所成的角的范围是(0,所以选项C错;过m,n有且只有一对平面互相平行,而点P可能在其中一个面内,所以选项D错;故选A.3.如图是一个多面体的三视图,则其表面积为(C) (A)(B)+6(C)+6(D)+4解
3、析:由几何体的三视图可得,此几何体是平放的三棱柱,底面是正三角形,侧面是矩形,其表面积为S=3()2+2()2sin 60=6+.故选C.4.(2014杭州西湖高中模拟)设l,m,n是不同的直线,是不同的平面,则下列命题不正确的是(D)(A)若m,m,则(B)若l,则l(C)若mn,m,则n(D)若l,则l解析:选项A正确,由两平面平行的性质知选项B正确;选项C正确,选项D中l,也可能平行或只相交不垂直.故选D.5.(2014浙江杭州模拟)设等差数列an的前n项和是Sn,若-ama10,且Sm+10(B)Sm0(C)Sm0,且Sm+10(D)Sm0,且Sm+10解析:由题意可知-ama10,S
4、m+1=(m+1)0,故选A.6.(2014金华十校期末)已知a,b是实数,则“|a-b|a|+|b|”是“ab0”的(B)(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件解析:若ab0,则|a-b|=|a|+|b|,所以|a-b|a|+|b|成立,若|a-b|a|+|b|,则a可以大于0,b等于0,所以ab0不成立.故选B.7.(2014宁波模拟)已知向量a,b,c满足|a|=4,|b|=2,a与b的夹角为,(c-a)(c-b)=-1,则|c-a|的最大值为(D)(A)+(B)+1(C)(D)+1解析:由题知(c-a)(c-a+a-b)=-1,即(c-a)
5、2=(a-c)(a-b)-1,则|c-a|2|c-a|a-b|-1,又|a-b|2=(a-b)2=a2-2ab+b2=16-242+8=8,则|c-a|2-2|c-a|+10,得-1|c-a|+1.故选D.8.实数x,y满足若目标函数z=x+y取得最大值4,则实数a的值为(C)(A)4(B)3(C)2(D)解析:由题意作出可行域,如图,z=x+y即y=-x+z,则z的几何意义为直线在y轴上的截距,将目标函数平移可知当直线经过点A(a,a)时,目标函数取得最大值4,代入得4=a+a=2a,所以a=2,故选C. 9.(2014浙江省部分重点中学高三联考)数列an的各项均为正数,Sn为其前n项和,对
6、于任意nN*,总有an,Sn, 成等差数列.设数列bn的前n项和为Tn,且bn=,则对任意实数x(1,e(e是常数,e2.71828)和任意正整数n,Tn小于的最小正整数为(B)(A)1(B)2(C)3(D)4解析:an=n,bn=(n2),所以Tn1+=2-2,故选B.10.(2014嘉兴一模)如图1,在等腰ABC中,A=90,BC=6,D, E分别是AC,AB上的点,CD=BE=,O为BC的中点.将ADE沿DE折起,得到如图2所示的四棱锥ABCDE.若AO平面BCDE,则AD与平面ABC所成角的正弦值等于(D)(A)(B)(C)(D)解析:AO平面BCDE, 平面ABC平面BCDE,过D作
7、DFBC于F,则DF平面ABC.连接AF,则DAF为AD与平面ABC所成的角,RtCDF中,DF=sin 45=1,sinDAF=.故选D.二、填空题(本大题共7小题,每小题4分,共28分)11.(2014浙江名校联考)在各项均为正数的等比数列an中,若公比为,且满足a3a11=16,则log2 a16=.解析:a3a11=16,=16,a7=4,a16=a7q9=4()9=32,log2 a16=log2 32=5.答案:512.(2014浙江省五校联盟联考)如图是某几何体的三视图,其中正视图和侧视图是全等的矩形,底边长为2,高为3,俯视图是半径为1的圆,则该几何体的体积是.解析:由几何体的
8、三视图知,该几何体为一个圆柱中间挖去一个圆锥,故其体积为123-123=2.答案:213.在正四棱锥VABCD中,底面正方形ABCD的边长为1,侧棱长为2,则异面直线VA与BD所成角的大小为.解析:设ACBD=O,连接VO, 由于四棱锥VABCD是正四棱锥,所以VO平面ABCD,故BDVO.又四边形ABCD是正方形,所以BDAC,所以BD平面VAC,所以BDVA,即异面直线VA与BD所成角的大小为.答案:14.在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,已知AB=1,AA1=,则AD1与平面BCD1所成角的正弦值为.解析:连接A1B,过A作AMA1B于M,连接D1M,则AD1与平面BCD1所成角即A
9、D1与平面A1BCD1所成的角,即AD1M.AA1=,AB=1,AM=,AD1=2,sinAD1M=.答案:15.如图,AB为圆O的直径,点C在圆周上(异于点A,B),直线PA垂直于圆O所在的平面,点M为线段PB的中点.有以下四个命题: PA平面MOB; MO平面PAC;OC平面PAC;平面PAC平面PBC.其中正确的命题是.(填上所有正确命题的序号).解析:由于PA平面MOB,故错误;由MOPA,PA平面PAC,所以MO平面PAC,故正确;假设OC平面PAC,则OCAC,又BCAC,所以OCBC,在同一平面内显然不成立.则错;由BCAC,PAO得BCPA,知BC平面PAC,得平面PAC平面P
10、BC,所以正确.答案:16.如图,在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,点O是底面ABCD的中心,E,F分别是CC1,AD的中点,则异面直线OE与FD1所成角的余弦值为.解析:建立空间直角坐标系.如图,则D1(0,0,2),F(1,0,0),O(1,1,0),E(0,2,1). =(-1,1,1),=(-1,0,2),cos=.所以异面直线OE与FD1所成角的余弦值为.答案:17.(2014浙江杭州模拟)设f(x)=asin 2x+bcos 2x,其中a,bR,ab0.若f(x)f()对一切xR恒成立,则f(x)的最小正周期是2,f()=0;f(x)既不是奇函数也不是偶函数;f(x)的
11、单调递增区间是k+,k+(kZ);以上结论正确的是(写出所有正确结论的序号).解析:因为f(x)=asin 2x+bcos 2x=sin(2x+),显然其最小正周期是,故不正确;若f(x)f()对一切xR恒成立,则sin(2+)=1,+=2k+,kZ,=+2k,kZ,f(x)=sin(2x+),则f()=0,故正确;f(x)既不是奇函数也不是偶函数,正确;单调增区间应为k-,k+(kZ),不正确.答案:三、解答题(本大题共5小题,共72分)18.(本小题满分14分)(2013湖州二模)已知函数f(x)=2sin xcos x+2cos2x+m在区间0,上的最大值为2.(1)求常数m的值;(2)
12、在ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若f(A)=1,sin B=3sin C,ABC面积为,求边长a.解:(1)f(x)=2sin xcos x+2cos2x+m=2sin(2x+)+m+1.因为x0,所以2x+,.所以当2x+=即x=时,函数f(x)取到最大值2.此时,f(x)max=f()=m+3=2,得m=-1.(2)因为f(A)=1,所以2sin(2A+)=1,即sin(2A+)=,又A为ABC内角,解得A=.因为sin B=3sin C,=,所以b=3c.因为ABC面积为,所以S=bcsin A=bcsin=,即bc=3.由和解得b=3,c=1.因为a2=b2+c2-
13、2bccos A=32+12-231cos=7,所以a=.19.(本小题满分14分)(2014浙江高考模拟冲刺卷)已知四棱锥PGBCD中(如图),PG平面GBCD,GDBC,GD=BC,且BGGC,GB=GC=2,E是BC的中点,PG=4. (1)求异面直线GE与PC所成角的余弦值;(2)若F点是棱PC上一点,且=0,=k,求k的值.解:法一(1)如图所示,以G点为原点建立空间直角坐标系Gxyz,则B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,4),故E(1,1,0) =(1,1,0),=(0,2,-4),cos=,故异面直线GE与PC所成角的余弦值为.(2)设F(0,y, z)则=-=(0,y,z)-(-,0)=(,y-,z),=(0,2,0)=0,(,y-,0)(0,2,0)=2(y-)=0,y=.在平面PGC内过F点作FMGC,M为垂足,则GM=,MC=,=3,又与反向,k=-3.法二(1)在平面GBCD内,过C点作CHEG交GD于H,连接PH,则PCH(或其补角)就是异面直线GE与PC所成的角. 在PCH中,CH=,PC=,PH=,由余弦定理得,cosPCH=,异面直线GE与PC所成角的余弦值为. (2)在平面GBCD内,过D作DMGC,M为垂足,连接MF, 由=0,得DFGC,GC平面MF
