《2015届高考数学 8.7 抛物线练习》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2015届高考数学 8.7 抛物线练习(5页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、【师说 高中全程复习构想】(新课标)2015届高考数学 8.7 抛物线练习一、选择题1已知F是抛物线y2x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|BF|3,则线段AB的中点到y轴的距离为()A.B1C.D.解析:根据抛物线定义与梯形中位线定理,得线段AB中点到y轴的距离为:(|AF|BF|).答案:C2过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,如果x1x26,那么|AB|()A10 B8 C6 D4解析:由k2x22(k22)xk20x1x26k1.|AB|2(1k2)(x1x2)264|AB|8.答案:B3将两个顶点在抛物线y22px(p0)上,另一个顶
2、点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n,则()An0 Bn1 Cn2 Dn3解析:设直线y(x),与抛物线y22px联立可得xp,故可得两交点坐标为(p,p2p)和(p,p2p),(p,p2p)与(,0)之间的距离为2(2)p,(p,p2p)与(,0)之间的距离为2(2)p,故等边三角形有两个,选C.答案:C4已知双曲线1(a0,b0)的左顶点与抛物线y22px(p0)的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2,1),则双曲线的焦距为()A2 B2 C4 D4解析:由,解得,由题意得知,得,又知a4,故a2,b1,c,焦距2c2.故选B.答案:B5设M(x0,y0)为抛
3、物线C:x28y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则y0的取值范围是()A(0,2) B0,2C(2,) D2,)解析:圆心到抛物线准线的距离为p,即4,根据已知只要|FM|4即可根据抛物线定义,|FM|y02,由y024,解得y02,故y0的取值范围是(2,)答案:C6已知点P为抛物线y22x上的动点,点P在y轴上的射影是M,点A的坐标是(,4),则|PA|PM|的最小值是()A. B4 C. D5解析:焦点F,当P、A、F三点共线时|PA|PM|才有最小值,此时|PA|PM|PA|PF|,即|PA|PM|的最小值为|FA| 5.故选C.答案:C
4、二、填空题7坐标原点为O,抛物线y22x与过其焦点的直线交于A、B两点,则_.解析:依题意,抛物线y22x的焦点坐标为F(,0),不妨考虑特殊情况,即直线AB与x轴垂直,此时解得A(,1),B(,1),所以1.答案:8设A(x1,y1)、B(x2,y2)是抛物线y2x2上的两点,直线L是AB的垂直平分线当直线L的斜率为时,则直线L在y轴上截距的取值范围是_解析:设L在y轴上的截距为b,则直线L的方程为yxb,过点A、B的直线可设为y2xm,则A、B的坐标是方程组的解,即x1、x2是方程2x22xm0的两根,从而有x1x21,48m0m.又AB的中点N(,m1)在直线L上,即m1bmb,将mb代
5、入得b.故直线L在y轴上截距的取值范围是.答案:9设圆C位于抛物线y22x与直线x3所围成的封闭区域(包含边界)内,则圆C的半径能取到的最大值为_解析:依题意,结合图形的对称性可知,要使满足题目约束条件的圆的半径最大,圆心位于x轴上时才有可能,可设圆心坐标是(a,0)(0a3),则由条件知圆的方程是(xa)2y2(3a)2.由消去y得x22(1a)x6a90,结合图形分析可知,当2(1a)24(6a9)0且0a3,即a4时,相应的圆满足题目约束条件,因此所求圆的最大半径是3a1.答案:1三、解答题10设抛物线顶点在原点,开口向上,A为抛物线上一点,F为抛物线焦点,M为准线l与y轴的交点,已知|
6、AM|,|AF|3,求此抛物线的方程解析:作ABy轴于B,ACl于C.据抛物线定义,|AC|AF|.|AF|3,|AC|3,从而|BM|AC|3.|AM|,在RtABM中,|AB|2|AM|2|BM|21798.在RtABF中,|BF|2|AF|2|AB|2981,|BF|1.从而|FM|BF|BM|4或|FM|BM|BF|2,即抛物线的焦准距p4或p2,又抛物线开口向上,故抛物线方程为x28y或x24y.11(2013浙江卷)已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点为F(0,1)(1)求抛物线C的方程;(2)过点F作直线交抛物线C于A,B两点若直线AO,BO分别交直线l:yx2于M,N两点,求
7、|MN|的最小值解析:(1)由题意可设抛物线C的方程为x22py(p0),得1,抛物线C的方程为x24y.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为ykx1(直线AB的斜率显然存在),由消去y,整理得x24kx40,x1x24k,x1x24.从而|x1x2|4.显然x1,x2均不为0,由解得点M的横坐标xM.同理点N的横坐标xN.|MN|xMxN|8.令4k3t,t0,则k.|MN|2 .综上所述,当t,即k时,|MN|的最小值是.12(2013广东卷)已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F(0,c),(c0)到直线l:xy20的距离为.设P为直线l上的点,过点P做抛物线C的两条
8、切线PA,PB,其中A,B为切点(1)求抛物线C的方程;(2)当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|BF|的最小值解析:(1)依题意d,解得c1(负根舍去)抛物线C的方程为x24y.(2)设点A(x1,y1),B(x2,y2),由x24y,即yx2得yx,来源:学科网ZXXK抛物线C在点A处的切线PA的方程为yy1(xx1),即yxy1x.y1x,yxy1.点P(x0,y0)在切线l1上,y0x0y1.同理,y0x0y2.综合得,点A(x1,y1),B(x2,y2)的坐标都满足方程y0x0y.经过A(x1,y1),B(x2,y2)两点的直线是唯一的,直线AB的方程为y0x0y,即x0x2y2y00.(3)由抛物线的定义可知|AF|y11,|BF|y21,|AF|BF|(y11)(y21)y1y2y1y21,联立消去x得y2(2y0x)yy0,y1y2x2y0,y1y2y.x0y020,|AF|BF|y2y0x1y2y0(y02)212y2y0522,y0时,|AF|BF|取得最小值为.