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1、【师说 高中全程复习构想】(新课标)2015届高考数学 8.5 椭圆练习一、选择题1已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴上,且长轴长为12,离心率为,则椭圆方程为()A.1B.1C.1 D.1解析:由题意可设椭圆的方程为1eb232,故选D.答案:D2设F1、F2是椭圆E:1(ab0)的左、右焦点,P为直线x上一点,F2PF1是底角为30的等腰三角形,则E的离心率为()A.B.C.D.解析:根据题意知|PF2|F1F2|2c,直线PF2的倾斜角是60,所以acce,所以选C.答案:C3若点P是以F1,F2为焦点的椭圆1(ab0)上一点,且0,tanPF1F2,则此椭圆的离心率e()A. B.
2、C. D.解析:由0得.则tanPF1F2.设|PF2|m,则|PF1|2m,|F1F2|m.所以e.答案:A4已知椭圆1(ab0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且BFx轴,直线AB交y轴于点P.若2,则椭圆的离心率是()A. B. C. D.解析:由题意知,因为2,则OA2OF,a2c,e.答案:D5若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则的最大值为()A2 B3 C6 D8解析:由椭圆1可得点F(1,0),点O(0,0),设P(x,y),2x2,则x2xy2x2x3(1)x2x3(x2)22,当且仅当x2时,取得最大值6.答案:C6设椭圆1(ab0)的离
3、心率为e,右焦点为F(c,0),方程ax2bxc0的两个实根分别为x1和x2,则点P(x1,x2)()A必在圆x2y22内B必在圆x2y22上C必在圆x2y22外D以上三种情形都有可能解析:e,.a2b2c2,b2a2.x1x2,x1x2,xx(x1x2)22x1x212.P点在圆x2y22内答案:A二、填空题7椭圆1(ab0)的左、右顶点分别是A、B,左、右焦点分别是F1、F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为_解析:依题意得|F1F2|2|AF1|BF1|,即4c2(ac)(ac)a2c2,整理得5c2a2,所以e.答案:8在平面直角坐标系xOy中,椭圆
4、C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为,过F1的直线l交C于A,B两点,且ABF2的周长为16,那么C的方程为_解析:根据椭圆焦点在x轴上,可设椭圆方程为1(ab0),e,根据ABF2的周长为16得4a16,因此a4,b2,所以椭圆方程为1.答案:1.9若椭圆1的焦点在x轴上,过点(1,)作圆x2y21的切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是_解析:由题可设斜率存在的切线的方程为yk(x1)(k为切线的斜率),即2kx2y2k10,由1,解得k,所以圆x2y21的一条切线方程为3x4y50,求得切点A(,),易知另一切点B(1,0),则直线AB的方
5、程为y2x2.令y0得右焦点为(1,0),令x0得上顶点为(0,2)a2b2c25,故得所求椭圆方程为1.答案:1三、解答题10如图,设P是圆x2y225上的动点,点D是P在x轴上的投影,M为PD上一点,且|MD|PD|.(1)当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程;(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度解析:(1)设M的坐标为(x,y),P的坐标为(xP,yP),由已知得,P在圆上,x2(y)225,即C的方程为1.(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y(x3),设直线与C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),将直线方程y(x3)代入C的方程,得1,即x23x80.
6、x1,x2.线段AB的长度为|AB| .11设椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P(a,b)满足|PF2|F1F2|.(1)求椭圆的离心率e;(2)设直线PF2与椭圆相交于A,B两点若直线PF2与圆(x1)2(y)216相交于M,N两点,且|MN|AB|,求椭圆的方程解析:(1)设F1(c,0),F2(c,0)(c0),因为|PF2|F1F2|,所以2c,整理得2()210.得1(舍),或.所以e.(2)由(1)知a2c,bc,可得椭圆方程为3x24y212c2,直线PF2的方程为y(xc)A,B两点的坐标满足方程组消去y并整理,得5x28cx0,解得x10,x2c.得方程组的解
7、,不妨设A(c,c),B(0,c),所以|AB|c.于是|MN|AB|2c.圆心(1,)到直线PF2的距离d.因为d2()242,所以(2c)2c216,整理得7c212c520,得c(舍),或c2.所以椭圆方程为1.12已知椭圆C1:y21椭圆C2以C1的长轴为短轴,且与C1有相同的离心率(1)求椭圆C2的方程;(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆C1和C2上,2,求直线AB的方程解析:(1)由已知可设椭圆C2的方程为1(a2),其离心率为,故,则a4,故椭圆C2的方程为1.(2)解法一:A,B两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB),由2及(1)知,O,A,B三点共线且点A,B不在y轴上,因此可设直线AB的方程为ykx.将ykx代入y21中,得(14k2)x24,所以x,将ykx代入1中,得(4k2)x216,所以x又由2,得x4x,即,解得k1,故直线AB的方程为yx或yx.解法二:A,B两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB),由2及(1)知,O,A,B三点共线且点A,B不在y轴上,因此可设直线AB的方程为ykx.将ykx代入y21中,得(14k2)x24,所以x,由2,得x,y,将x,y代入1中,得1,即4k214k2,解得k1,故直线AB的方程为yx或yx.