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1、第十单元 几何证明选讲,第68讲,直线与圆的位置关系,1.理解下列定理:圆周角定理和圆心角定理及其推论、圆内接四边形的性质与判定定理、圆的切线的判定定理及性质定理、弦切角定理、相交弦定理、割线定理、切线长定理、切割线定理，并能应用上述定理及推论解决相关的几何问题. 2.体会用分类讨论的方法证明定理，用运动变化的思想进行探究.,1.如图，已知O的直径AB与弦AC的夹角为35，过点C的切线PC与AB的延长线交于点P，那么P等于( ),B,A.15 B.20 C.25 D.30,由已知，COCP，即OCP=90. 又COB=2CAB=70， 所以P=90-COB=20. 故选B.,2.如图，AB是圆
2、O的直径，直线CE和圆O相切于点C，ADCE,垂足为D.若AC=2,AD=1,则B= .,由题意得,ACB=90,ACD=ABC, 易得ABCACD,所以 = = , 所以sinB= ,所以B= .,3.给出下列四个四边形:平行四边形;矩形;四边形ABCD中,ADB=ACB;直角梯形.其中一定是圆内接四边形的是 .,易知不一定是圆内接四边形；一定不是圆内接四边形；是圆内接四边形；对如图，由A、B、D三点可以确定一个圆O，如果点C在圆O外，连接BC,与圆O相交于点E,因为ADB=AEB, ADBACB,而易 知AEBACB,矛 盾.所以点C不可能在 圆O外，同理可证，点C不可能在圆O内.,4.如
3、图，PB为O的切线，B为切点，连接PO交O于点A，PA=2，PO=5，则PB的长度为 .,4,延长PO交圆于C， 由切割线定理PB2=PAPC=2(5+3)=16， 所以PB=4.,5.如图，已知圆内接正方形ABCD的边长为3,弦AE交BC于点P，且BPPC=12， 则AP= ，PE= .,由BC=3，BPPC=12，得BP=1，PC=2. 在RtABP中，AP= = . 又由相交弦定理APPE=BPPC， 得PE= = = .,1.与圆有关的角的概念 （1）圆心角：顶点在圆心，两边和圆相交的角叫做圆心角（如图中的AOB）. （2）圆周角：顶点在圆上，两边和圆相交的角叫做圆周角（如图中的BAC
4、）.,(3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角（如图中的BAT）. 2.圆周角和圆心角定理 圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半.圆心角的度数等于它所对弧的 . 推论1:同弧或等弧所对的圆周角 ;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也 . 推论2:半圆（或直径）所对的圆周角是 ；90圆周角所对的弦是 .,度数,相等,相等,直角,直径,3.圆内接四边形的判定 （1）如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形 圆. （2）如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆. 4.圆内接四边形的性质 圆的内接四边形的对角 ,并且任何一个外角都等于它的
5、.,内接于,内接于,内切角,5.圆的切线的判定 经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线，是圆的 . 6.圆的切线的性质 圆的切线垂直过切点的半径. 推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过 . 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过 .,切线,切点,圆心,7.弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧所对的 . 8.相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积 . 9.切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的 . 10.切线长定理 从圆外一点到的切线,它们的切线长 ;圆心和这一点的连线 两条切线的夹角.,圆周角,相等,比例中项,相等,平分,题型一
6、圆内接四边形的判定与应用,例1,如图，已知CA、CB是O的两条切线，A、B是切点,OC交直线AB于D,OF垂直于CF于F,交直线AB于E,求证：ODOC=OEOF=OA2.,由证明结论的形式，可联想到射影定理及圆幂定理.,因为AC、BC是O的切线，A、B为切点， 所以OCAB于D. 在COA中，CAO=90， 故OA2=ODOC. 又OFCF于F,故CDE=EFC=90， 故D、C、E、F四点共圆， 所以ODOC=OEOF, 所以有ODOC=OEOF=OA2.,在解决较复杂的平面几何问题时，要善于从式子结构中联想相关的定理，多个角度思考问题，从中找出可行方案.,如右图，AB是O的直径，过A、B
7、引两条弦AD和BE，相交于点C，求证：ACAD+BCBE=AB2.,连接AE、BD，过C作CFAB，与AB交于F. 因为AB是圆O的直径， 所以AEB=ADB=90. 因为AFC=90,所以A、F、C、E四点共圆, 所以BCBE=BFBA. 同理,B、F、C、D四点共圆, 所以ACAD=AFAB. +得ACAD+BCBE=BFAB+AFAB, 即ACAD+BCBE=AB2.,本题关键是作辅助线CFAB，得出四点共圆，然后利用割线定理即可证明.,题型二 切割线定理及应用,例2,如右图，等边三角形ABC中，边AB与O相切于点H，边BC、CA分别与O交于点D、E、F、G.已知AG=2,GF=6,FC
8、=1,求DE的长.,DE是CD与BE的公共部分，要求DE,应与BE,BD,CD,CE建立联系，可利用切割线定理转化为BH,CF,CG的关系从而得到解决.,由切割线定理可知： AH2=AGAF=16,所以AH=4. 又AC=AG+GF+FC=9, 所以AB=AC=9, 故BH=5,则BDBE=BH2=25. 又因为CECD=CFCG=7,BC=AC=9, 设BD=x,CE=y,x(9-y)=25 y(9-x)=7 -得x-y=2,即x=y+2. 把代入得y2-7y+7=0，解得y= . 因为x+y=2y+29,即y ,所以y= ， 所以x+y=2y+2=7- +2=9- , 从而DE=BC-(B
9、D+EC)=9-(x+y)= .,则有,本题为了方便表示，除设DB=x外，又引入变量CE=y,使各线段长的关系的表示更加清晰与简捷，在几何问题中，这也是常用的做法.,题型三 圆周角定理和圆的切线定理及应用,例3,如图，已知C是以AB为直径的半圆O上一点，CHAB于点H，直线AC与过B点的圆的切线相交于点D，E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G. （1）求证:点F是BD的中点； （2）求证:CG是O的切线； （3）若FB=FE=2，求O的半径.,（1）证明:因为CHAB，DBAB， 所以CHBD. 所以AEHAFB，ACEADF, 所以 = = . 因为HE=EC
10、,所以BF=FD,即F为BD的中点.,(2)(证法一)连接CB、OC. 因为AB是直径， 所以ACB=90， 从而BCD=90. 在RtBCD中， 因为F是BD的中点所以BCF=CBF. 又因为BD与O相切于点B， 所以OBD=OBC+CBD=90. 又因为OCB=OBC， 所以OCG=OCB+BCF =OBC+CBF=90. 所以CG是O的切线.,(证法二)可证明OCFOBF(略). (3)由FC=FB=FE，得FCE=CEF. 因为CHBD， 所以BFG=HCF,AFB=AEH=CEF, 所以BFG=BFA. 又FB=FB，所以RtFBARtFBG. 可得：FA=FG，且AB=BG.,由切
11、割线定理得 (2+FG)2=BGAG=2BG2. 在RtFBG中， 由勾股定理得BG2=FG2-BF2. 由、得FG2-4FG-12=0， 解得FG=6或FG=-2（舍去）. 所以AB=BG=4 ， 所以O半径为2 .,本题是综合性较强的题目，要用到全等、相似三角形的判定与性质、与圆有关的概念与性质（如圆的切线的判定和性质、切割线定理）等，需要仔细分析，恰当添加辅助线，才能顺利找到求解的思路.,如图，PA、PB是O的切线，A、B为切点，OAB=30. （1）求APB的大小； （2）当OA=3时，求AP的长.,（1）因为在ABO中,OA=OB，OAB=30, 所以AOB=180-230=120.
12、 因为PA、PB是O的切线,所以OAPA,OBPB, 即OAP=OBP=90,所以APB=60.,(2)如图，过点O作ODAB交AB于点D. 因为在OAB中，OA=OB， 所以AD= AB. 因为在RtAOD中,OA=3, OAD=30， 所以AD=OAcos30= ，AP=AB= .,本题用到的知识点较多，主要知识点有：圆的切线的性质；等腰三角形的性质；四边形内角和定理；锐角三角函数等.,如右图，已知AB为半圆O的直径，直线l切半圆于点C，ADl于点D，BEl于点E,BE交半圆O于点F,AD=3 cm, BE=7 cm. (1)求O的半径； (2)求线段DE的长.,连接OC，证C为DE的中点
13、.在解有关圆的切线问题时，常常要作出过切点的半径.对于(2)则连接AF，证四边形ADEF为矩形，从而得到AD=EF,然后在RtABF中运用勾股定理，求AF的长.,(1)连接OC. 因为l切半圆于点C，所以OCl. 因为ADl,BEl, 所以ADOCBE. 因为OA=OB,所以CD=CE, 所以OC= (AD+BE)=5 cm.,(2)连接AF，因为AB为半圆O的直径, 所以AFB=90，即AFE=90, 所以AFE=DEF=90,所以四边形ADEF为矩形， 所以DE=AF,AD=EF=3. 在RtABF中，BF=BE-EF=4,AB=10, 所以DE=AF= = =2 , 故线段DE的长为2
14、.,1.当题目中涉及圆的切线问题时，常常需要作出过切点的半径，通过它可以构建有用的垂直关系. 2.在梯形当中，最常见的辅助线是高线，可以构造出直角三角形，然后在直角三角形中进行相关的计算.,1.圆内接四边形的重要结论：内接于圆的平行四边形是矩形；内接于圆的菱形是正方形；内接于圆的梯形是等腰梯形.应用这些性质可以大大简化证明有关几何题的推证过程. 2.圆的切线的性质定理及推论有如下结论：如果一条直线具备以下三个条件中的任何两个，就可推出第三个：垂直于切线；过切点；过圆心.于是利用切线性质时，过切点的半径是常作的辅助线.,3.判定切线通常有三种方法：和圆有惟一一个公共点的直线是圆的切线；圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线；过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线. 4.圆心角、圆周角、弦切角是圆中三类重要的角，准确理解它们的定义、定理及所对、所夹弧的关系.,5.与圆有关的比例线段的证明要诀：相交弦、切割线定理是法宝，相似三角形中找诀窍，联想射影定理分角线，辅助线来搭桥，第三比作介绍，代数方法不可少，分析综合要记牢，十有八九能见效.,(2009辽宁卷)如图，已知ABC中，AB=AC, D是ABC外接圆劣弧AC上的点（不与点A,C重合），延长BD至E. (1)求
