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1、第七单元 平面向量,知识体系,第一节 平面向量的概念及其线性运算,基础梳理,1. 向量的有关概念及表示法,大小,方向,0,1,相同,相反,平行,相等,相反,相等,相同,2. 向量的线性运算,三角形,平行四边形,b+a,a+(b+c),|a|,同方向,反方向,0,()a,a+a,a+b,三角形,3. 平行向量基本定理 非零向量a与向量b共线的充要条件:存在唯一一个实数,使 .,题型一 平面向量的有关概念,典例分析,【例1】给出下列五个命题: 两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同; 若|a|=|b|,则a=b; 在ABCD中,一定有 ; 若m=n,n=p,则m=p; 若ab,bc,则ac. 有
2、向线段就是向量，向量就是有向线段； 非零向量的单位向量是唯一的 其中不正确的个数是( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5,分析 在正确理解有关概念的基础上,注意特殊情况是解决本题的关键.,解 选B.两个向量起点相同,终点相同,则两个向量相等;但两个向量相等,不一定有相同的起点和终点,故不正确;|a|=|b|,但a,b方向不确定,所以a,b不一定相等,故不正确;、正确；零向量与任一非零向量都平行,当b=0时,a与c不一定平行,故不正确.,学后反思 (1)着重理解向量以下几个方面: 向量的模;向量的方向;向量的几何表示;向量的起点和终点. (2)判定两个向量的关系时,特别注意以下两种特殊的
3、情况: 零向量与任何向量共线;单位向量的长度为1，方向不固定.,举一反三,1. 已知下列命题: 如果非零向量a与b的方向相同或相反,那么a+b的方向必与a、b中的一个方向相同; 在ABC中,必有 ; 若 ,则A、B、C为一个三角形的三个顶点; 若a与b均为非零向量,则|a+b|与|a|+|b|一定相等. 其中真命题的个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3,解析：错误,a+b=0时,就不满足结论;正确, ;错误,A、B、C三点还可以共线;错误,只有a与b同向时才相等.,答案：B,题型二 平面向量的线性运算,分析 根据所求证的等式，将EF用含AB、DC的和、差形式 表示，充分运用加、
4、减法的运算法则完成.,证明 方法一：在四边形CDEF中， EF+FC+CD+DE=0. 在四边形ABFE中， EF+FB+BA+AE=0. +，得,【例2】如图，已知任意平面四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点. 求证： .,（EF+EF）+（FC+FB）+（CD+BA）+（DE+AE）=0. E、F分别是AD、BC的中点， FC+FB=0，DE+AE=0， 2EF=-CD-BA=AB+DC， 即 .,方法二： 取以A为起点的向量，应用三角形法则求证，如图. E为AD的中点， F是BC的中点， . 又,举一反三,2. 如图，在OAB中,延长BA到C,使AC=BA;在OB上取点D,使
5、,DC与OA交于E;设 试用a,b表示向量 和向量 .,解析：A是BC的中点, OA= (OB+OC), 即OC=2OA-OB=2a-b. DC=OC-OD=OC- OB=2a-b- b=2a- b.,【例3】设两非零向量a和b不共线,如果AB=a+b,CD=3(a-b), BC=2a+8b.求证:A、B、D三点共线.,题型三 向量的共线问题,分析 用向量法证明A、B、D三点共线,可以利用向量共线定理， 得到BD=AB(或AD=AB等).BDAB说明直线BD和AB平行或重 合;因为有公共点B,所以只能重合,从而由向量共线推出三点共线.,证明 BC=2a+8b,CD=3(a-b), BD=BC+
6、CD=2a+8b+3a-3b=5(a+b), BD=5AB.由向量共线定理得BDAB. 又因为直线AB和BD有公共点B,所以A、B、D三点共线.,学后反思 (1)向量共线的充要条件中,要注意当两向量共线时,通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量;要注意待定系数法的运用和方程思想. (2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.解题中应强调“直线AB和BD有公共点B”这一步骤.,3. 设两个非零向量 不共线,已知 , 若A、B、D三点共线,试求k的值.,解析： 若A、B、D三点共线,则ABBD,从而存在唯一实数
7、,使AB=BD， 即 不共线,举一反三,即当k=-8时,A、B、D三点共线.,题型四 向量知识的综合应用,分析 运用向量共线的条件,确定是否存在实数k,使得d=k c.,【例4】(12分)已知向量 其中 为两个非零不共线向量.问:是否存在这样的实数, ,使向量d=a+b与c共线?,解 要使cd,则应存在实数k,使d=kc6 即 不共线, =-2.10,故存在这样的实数,满足=-2,能使d与c共线12,学后反思 设 不共线,若 本题正是利用这一结论构造方程组来求解的.,举一反三,4. 已知ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P，满足PA+PB+PC=0, 若实数满足AB+AC=AP,求的值.,
8、解析：AB+AC=AP,PB-PA+PC-PA=AP, 即PB+PC-2PA=AP.又PA+PB+PC=0, PB+PC=-PA,-3PA=AP=-PA,-3=-, 即=3.,【例】下列命题正确的是（） A. 向量a与b共线，向量b与c共线，则向量a与c共线 B. 向量a与b不共线，向量b与c不共线，则向量a与c不共线 C. 向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点一定共线 D. 向量a与b不共线，则a与b都是非零向量,易错警示,错解一 因为向量a与b共线，所以a= b,又因为向量b与c共线， 所以b= c，则a= c,向量a与c共线，故选A. 错解二 因为向量a与b不共线，向量b与c不
9、共线，根据传递性， 向量a与c不共线，故选B. 错解三 因为向量AB与CD是共线向量，所以A、B、C、D四点共线， 所以应选C.,正解 解此类题需紧扣定义、条件进行排除，才能快速得 到正确结论.选项A中用了非零向量共线的传递性，而条 件中没有非零向量的条件，若b=0，结论显然不成立.选 项B中向量的不共线是无传递性的，故结论不成立.选项 C中向量AB与CD共线，直线AB与CD可能平行，故推不出A、 B、C、D四点共线，结论不成立.由此正确选项是D.,错解分析 错解一中对零向量的认识不到位，忽略了零向量与任意向量 共线；错解二中错因是a与c有可能共线；错解三的错因是对向量与点 共线在认知上的错位
10、.,考点演练,已知直线x+y=a与圆 交于A、B两点,且 |OA+OB|=|OA-OB|,其中O为坐标原点,则实数a的值为.,答案: 2,11. 中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字.如图所示，在中国象 棋的半个棋盘（48个矩形中，每个小方格都是单位正方形）中，若 马在A处，可跳到 处，也可跳到 处，用向量 表示马走了 “一步”.试在图中画出马在B、C处走了一步的所有情况.,解析： 如图，以点C为起点作向量（共8个），以点 B为起点作向量（共3个）.,12. 一艘船以 km/h的速度向垂直于岸的方向行驶，而船的实际 速度是10 km/h，求水流的速度和船行驶的方向（用与水流方向间 的夹角表示）.,答： 水流速度为5 km/h，船行驶方向与水流方向的夹角为60.,
