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1、第五节 简单几何体的 表面积和体积,基础知识梳理,1柱、锥、台、球的表面积与侧面积 (1)柱体的侧面积 直棱柱：设棱柱的高为h，底面多边形的周长为c，则 S直棱柱侧 . 圆柱：如果圆柱的底面半径为r，母线长为l，那么 S圆柱侧 .,ch,2rl,基础知识梳理,(2)锥体的侧面积 正棱锥：设正棱锥底面正多边形的周长为c，斜高为h，则 S正棱锥侧 . 圆锥：如果圆锥的底面半径为r，母线长为l，那么 S圆锥侧 .,ch,rl,基础知识梳理,(3)台体的侧面积 正棱台：设正n棱台的上底面、下底面周长分别为c、c，斜高为h，则正n棱台的侧面积公式S正棱台侧 . 圆台：如果圆台的上、下底面半径分别为r、r
2、，母线长为l，则S圆台侧 注：表面积侧面积底面积,(cc)h,l(rr),基础知识梳理,(4)球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积公式为S球 .,4R2,基础知识梳理,2柱、锥、台、球的体积 (1)长方体的体积 V长方体abc . (其中a、b、c为长、宽、高，S为底面积，h为高) (2)柱体(圆柱和棱柱)的体积 V柱体Sh. 其中，V圆柱r2h(其中r为底面半径),Sh,基础知识梳理,(3)锥体(圆锥和棱锥)的体积 V锥体 Sh. 其中V圆锥 ，r为底面半径,r2h,基础知识梳理,(4)台体的体积公式 V台h(SS) 注：h为台体的高，S和S分别为上下两个底面的面积 其中V圆台 注：h为
3、台体的高，r、r分别为上、下两底的半径 (5)球的体积 V球 .,h(r2rrr2),R3,三基能力强化,1(2010年山东青岛模拟)若正三棱锥的斜高是高 的倍，则棱锥的侧面积是底面积的_倍,三基能力强化,三基能力强化,2(2010年南通调研)正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2 ，则四面体AB1CD1的外接球的体积为_,三基能力强化,三基能力强化,3(2009年高考上海卷改编)若球O1、O2表面积之比4，则它们的半径之比_.,三基能力强化,三基能力强化,答案：6,三基能力强化,课堂互动讲练,1高考中对几何体的表面积的考查一般在客观题中，借以考查空间想象能力和运算能力，只要正确把握几何体的
4、结构，准确应用面积公式，就可以顺利解决,课堂互动讲练,2多面体的表面积是各个面的面积之和圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和 3几何体的表面积应注意重合部分的处理,课堂互动讲练,(2010年广东省惠州市高三调研)如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长是2，D，E是CC1，BC的中点，AEDE. (1)求此正三棱柱的侧棱长； (2)正三棱柱ABCA1B1C1的表面积,课堂互动讲练,【思路点拨】 (1)证明AED为直角三角形，然后求侧棱长；(2)分别求出侧面积与底面积,课堂互动讲练,课堂互动讲练,【点评】 求表面积应分
5、别求各部分面的面积，所以应弄清图形的形状，利用相应的公式求面积，规则的图形可直接求，不规则的图形往往要再进行转化，常分割成几部分来求,课堂互动讲练,1(2009年高考福建卷)如图，平行四边形ABCD中，DAB60，AB2，AD4.将CBD沿BD折起到EBD的位置，使平面EBD平面ABD. (1)求证：ABDE； (2)求三棱锥EABD的侧面积,跟踪训练,课堂互动讲练,跟踪训练,课堂互动讲练,跟踪训练,课堂互动讲练,跟踪训练,课堂互动讲练,1求空间几何体的体积除利用公式法外，还常用分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算问题的常用方法,课堂互动讲练,2计算柱体、锥体、台体的体
6、积关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分利用多面体的截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题,课堂互动讲练,(2009年高考安徽卷)如图，ABCD是边长为2的正方形，直线l与平面ABCD平行，E和F是l上的两个不同点，且EAED，FBFC.E和F是平面ABCD内的两点，EE和FF都与平面ABCD垂直 (1)证明：直线EF垂直且平分线段AD； (2)若EADEAB60，EF2，求多面体ABCDEF的体积,课堂互动讲练,【思路点拨】 (1)连结DE，AE， CF，BF，证明DEAE，BFCF； (2)可用体积分割法,课堂互动讲练,【解】 (1)证明：连结EA、ED、 CF、BF.由EA
7、ED， 知RtEEARtEED，故在平面 ABCD中， EAED，E在线段AD的中垂线上 同理，F在线段BC的中垂线上,课堂互动讲练,由于ABCD是正方形，BC的中垂线就是AD的中垂线，所以F也在AD的中垂线上，由于E、F都在AD的中垂线上，所以EF就是AD的中垂线，因此EF垂直且平分线段AD.,课堂互动讲练,(2)因为EEFF，所以E，F，E，F共面 因为EF平面ABCD，所以EFEF. 又EFAB，得EFAB，又EFAB2， 故四边形ABFE是平行四边形 同理，四边形CDEF是平行四边形 由DAE60，知ADE是等边三角形； 连BE，又由ABAE，EAB60， 知ABE是等边三角形,课堂互
8、动讲练,课堂互动讲练,【点评】 在求多面体的体积时，如果几何体的形状不规则或者直接求解不易进行时，可以对几何体进行分割，化为规则几何体或者体积容易求解的几何体，分别求出体积后再相加即得所求几何体的体积另外，三棱锥的体积求解具有较多的灵活性，因为三棱锥的任意一个顶点都可以作为顶点任何一个面都可以作为棱锥的底面，所以常常需要对其顶点和底面进行转换，以方便求解,课堂互动讲练,2如图，侧棱垂直底面的三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC位于平行四边形ACDE中，AE2，AC4，E60，点B为DE中点 (1)求证：平面A1BC平面A1ABB1. (2)设四棱锥A1AEBC与四棱锥A1B1BCC1的体积分别
9、为V1，V2，求V1V2的值,跟踪训练,课堂互动讲练,解：(1)证明：在平行四边形ACDE中， AE2，AC4，E60，点B为DE中点,跟踪训练,课堂互动讲练,ABE60，CBD30，从而ABC90， 即ABBC. 又AA1平面ABC，BC平面ABC. BC平面A1ABB1， BC平面A1BC， 平面A1BC平面A1ABB1.,跟踪训练,课堂互动讲练,跟踪训练,课堂互动讲练,跟踪训练,课堂互动讲练,跟踪训练,课堂互动讲练,本类问题是指几何体由几个规则几何体组合而成，因而求其表面积或体积时，可拆解为几个几何体分别来求,课堂互动讲练,(解题示范)(本题满分14分) 如图，正三棱锥的高为1，底面边长
10、为2 ，内有一个球与四个面都相切求棱锥的表面积和球的半径,课堂互动讲练,【解】 过PA与球心O作截面PAE与平面PCB交于PE，与平面ABC交于AE，因ABC是正三角形，易,【思路点拨】 先画截面图再求解,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,【点评】 球与多面体、旋转体的相接、相切问题简称为组合体问题，这类问题能够很好地考查学生对空间图形的识图、辨别能力，更能考查学生的空间想象能力，所以在高考中一直是热点题型复习中要注意总结规律，掌握常见问题的求解方法,课堂互动讲练,相切或相接问题一般通过作出截面，使构成组合体的各个简单体中的主要元素尽可能集中在该截面中，从而转化成平面图形的计算加以解决
11、旋转体之间的相接、相切问题，通常作出它们的共轴的截面；旋转体与多面体之间的相接、相切问题，一般作出它们接、切的某个公共点与轴所确定的截面,课堂互动讲练,3(本题满分8分)三棱锥PABC的四个顶点都在体积为 的球的表面上，底面ABC所在的小圆面积为16，求该三棱锥的高的最大值,自我挑战,课堂互动讲练,解：设球的半径为R， R3 ， R5.3分 设小圆半径为r，r216，r4.6分 当三棱锥的高过球心O时，取得最大值， OO1 3，PO1538.8分,自我挑战,课堂互动讲练,自我挑战,规律方法总结,1直棱柱的侧面展开图是一些矩形，正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形，正棱台的侧面展开图是一些全
12、等的等腰梯形 2斜棱柱的侧面积等于它的直截面(垂直于侧棱并与每条侧棱都相交的截面)的周长与侧棱长的乘积,规律方法总结,3如果直棱柱的底面周长是c，高是h，那么它的侧面积是S直棱柱侧ch. 4应注意各个公式的推导过程，不要死记硬背公式本身，要熟悉柱体中的矩形、锥体中的直角三角形、台体中的直角梯形等特征图形在公式推导中的作用,规律方法总结,5如果不是正棱柱、正棱锥、正棱台，在求其侧面积或全面积时，应对每一个侧面的面积分别求解后再相加 6求球的体积和表面积的关键是求出球的半径反之，若已知球的表面积或体积，那么就可以得出其半径的大小 7计算组合体的体积时，首先要弄清楚它是由哪些基本几何体构成，然后再通过轴截面分析和解决问题,规律方法总结,8计算圆柱、圆锥、圆台的体积时，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解,随堂即时巩固,点击进入,课时活页训练,点击进入,
