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1、浙江省七彩联盟浙江省七彩联盟 2018-20192018-2019 学年第一学期高三学年第一学期高三 1111 月期中考试月期中考试 数学试卷数学试卷 一一: :选择题。选择题。 1.若全集0，1，则 A. B. C. D. 1， 【答案】B 【解析】 【分析】 化简集合A，根据补集的定义计算即可 【详解】全集0，1， ， 则 故选：B 【点睛】本题考查了交集的定义与应用问题，是基础题 2.设，则“数列为等比数列”是“数列为等比数列”的 A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意看命题数列是等比数列与命题是等比
2、数列是否能互推，然后根据必要条件、充分条件和充要 条件的定义进行判断 【详解】若数列是等比数列， ， 数列是等比数列， 数列是等比数列， ， ， 不是等比数列， 数列是等比数列是数列是等比数列的充分不必要条件， 故选：A 【点睛】此题主要考查必要条件、充分条件和充要条件的定义，是一道基础题 解题时要注意等比数列的性 质的灵活运用 3.设实数x，y满足，则的最小值为 A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，根据直线平移即可求出目标函数的最小值 【详解】作出实数x，y满足对应的平面区域如图： 由得， 平移直线，由图象知，当直线经过A时，直线的截距最大
3、， 此时z最小， 由得，此时z最小值为， 故选：B 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合求出目标函数的最优解，利用数形结合是解决本题 的关键 4.已函数是奇函数，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意，由奇函数的性质可得，代入数据计算可得答案 【详解】根据题意，函数是奇函数， 则， 解可得：， 故选：A 【点睛】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，注意利用奇函数的性质分析，属于基础题 5.若展开式的所有二项式系数之和为 32，则该展开式的常数项为 A. 10 B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据二项式系数之和为 3
4、2，即，可得，在利用通项即可求解常数项 【详解】由二项式系数之和为 32，即，可得， 展开式的常数项：； 令，可得 可得常数项为：， 故选：A 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题 6.若正数a，b满足，则的最小值为 A. B. C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】 根据，可将代入应用基本不等式即可 【详解】，且， 则， 当且仅当即，时取等号 故选：D 【点睛】本题考查基本不等式的应用，解决的关键是将进行代换，解决的方法是基本不等式法， 是容易题 7.已知函数，且，则不等式的解集为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】
5、【分析】 利用分段函数以及，求出m，然后转化求解不等式的解集 【详解】函数，可知时， 所以，可得解得 不等式即不等式， 可得：或， 解得：或，即 故选：C 【点睛】本题考查分段函数的应用，不等式的解法，考查转化思想以及计算能力 8.已知是双曲线的右焦点，若双曲线左支上存在一点P，使渐近线上任意一点 Q，都有，则此双曲线的离心率为 A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意知渐近线是线段的垂直平分线，由直线的方程和渐近线方程联立求得交点坐标，再利用 中点坐标公式求得点P的坐标，代入双曲线方程求得离心率的值 【详解】解法一：由题意知渐近线是线段的垂直平分线， 令， 由垂直平
6、分线的定义和双曲线的定义知， ， ， ， 双曲线的离心率为； 解法二：由题意知渐近线是线段的垂直平分线， 且直线的方程为； 则由，解得， 即直线与渐近线的交点为； 由题意知，利用中点坐标公式求得点P的坐标为； 又点P在双曲线上， ， 化简得， 解得， 此双曲线的离心率为 故选：D 【点睛】本题考查了双曲线的简单性质与应用问题，也考查了直线与方程的应用问题，是中档题 9.将 8 本不同的书全部分发给甲、乙、丙三名同学，每名同学至少分到一本，若三名同学所得书的数量各 不相同，且甲同学分到的书比乙同学多，则不同的分配方法种数为 A. 1344 B. 1638 C. 1920 D. 2486 【答案】
7、A 【解析】 【分析】 由题意可得 8 本不同的书有2， ，3， 两种分组的方法，再根据甲同学分到的书比乙同学多，分类 求出即可 【详解】8 本不同的书全部分发给甲、乙、丙三名同学，每名同学至少分到一本，若三名同学所得书的数 量各不相同， 则有2， ，3， 两种分组的方法， 由于甲同学分到的书比乙同学多， 当乙分的 1 本时，此时的种数为 当丙分的 1 本时，此时的种数为， 故不同的分配方法种数为种， 故选：A 【点睛】本题考查了排列组合在实际生活中的应用，考查了分类计数原理，属于中档题 10.正四面体中，D是AB边的中点，P是线段AB上的动点，记SP与BC所成角为，SP与底面ABC 所成角为
8、，二面角为，则下列正确的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先分别求出二面角以及直线与所成的角，再结合题中条件即可判定出结果. 【详解】设正四面体的各边长均为 ，连结，取中点 ，底面的重心记作 ，连结，由题 意可得 在底面的投影为 ，且 为的一个三等分点，所以有， 所以即为与所成的角，即为二面角即，同时也是直线与底面所成 的角， 因此， 当 由 向 靠近时，不变，逐渐增大，所以逐渐减小；当 与 重合时，与所成角的值为， 当 由 向 靠近时，逐渐增大，故， 故选 B 【点睛】本题主要考查空间角的综合问题，需要考生掌握着立体几何法求空间角，即作辅助线找到所求空 间角，进而即
9、可求解，属于中档试题. 二：填空题。二：填空题。 11.已知i是虚数单位，则上的虚部为_；若，则_ 【答案】 (1). -1 (2). 0 【解析】 【分析】 直接利用复数代数形式的乘除运算化简求得的虚部，利用复数代数形式的乘除运算化简，由虚部为 0 求解m值 【详解】由，得的虚部为； ， ，解得 则 故答案为：；0 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 12.若已知随机变量，则_ 【答案】 【解析】 【分析】 根据n次独立重复实验恰有k次发生的概率，计算所求的概率值 【详解】随机变量， 则 故答案为： 【点睛】本题考查了n次独立重复实验恰有k次发生的概率计算问
10、题，是基础题 13.某四棱锥的三视图如图，则该几何体的表面积是_；体积是_ 【答案】 (1). 36 (2). 12 【解析】 【分析】 画出直观图，利用三视图的数据，求解四棱锥的表面积与体积 【详解】几何体的直观图如图：底面是正方形，边长为 3；棱锥的高为 4，一条侧棱垂直底面 四棱锥的表面积为： 体积为： 故答案为：36；12 【点睛】本题考查三视图求解几何体的表面积与体积，判断几何体的形状的解题的关键 14.已知是公差不为零的等差数列，且 是 和 的等比中项，则_，数列的前n项和 的最大值为_ 【答案】 (1). -3 (2). 30 【解析】 【分析】 由已知列关于 和d的方程组，求解
11、得到，进一步可知最大，再由等差数列的前n项和求 解 【详解】在等差数列中，由， 是 和 的等比中项， 得，解得， 可得 数列的前n项和的最大值为 故答案为：；30 【点睛】本题考查等差数列的通项公式与前n项和，考查等比数列的性质，是基础题 15.已知在中，延长BC至D，使，则_ 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 直接利用解三角形知识，根据正弦定理和余弦定理的应用求出结果 【详解】如图所示： 在中，延长BC至D，使， 则：， 所以： 所以：， 整理得：， 解得： 在中，利用正弦定理：， 由于：， 所以： 故： 故答案为： 【点睛】本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和相关的运算问
12、题的应用，主要考查学生的运算能力和 转化能力，属于基础题型 16.已知向量 ， 满足，若对任意实数x都有，则的最小值为 _ 【答案】 【解析】 【分析】 设，取，可得P在直线BC上，即线段OP的最小值为O到直线BC的距离，当 时， 【详解】如图， 由，知 在 上的投影为 2，即， 对任意实数x都有， 由摄影定理可得， 设， 取，可得P在直线BC上， 线段OP的最小值为O到直线BC的距离， 当时， 故答案为： 【点睛】本题考查了向量的运算，考查了数形结合的思想方法，属于中档题 17.过坐标原点O在圆内作两条互相垂直的弦AB，CD，则的最大值_ 【答案】 【解析】 【分析】 求出，的范围，设，可得
13、，令，再由线性规 划知识求解 【详解】化圆为，如图， 可知， 当所在直线斜率不存在时， 当AB斜率存在时，设AB方程为，则CD方程为 联立，得 设， 则， 则 ， 同理求得 则 设， 则，令 由图可知，当直线过时，t有最大值为 故答案为： 【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档 题 三：解答题（本大题共三：解答题（本大题共 5 5 小题）小题） 18.已知函数 求函数的对称轴方程； 将函数的图象向右平移 个单位长度，得到函数的图象，若关于x的方程在上恰有 一解，求实数m的取值范围 【答案】(1) 对称轴方程为，(2) 【解析】 【分析】 利
14、用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的对称性，求得函数的对称轴方程 由题意 在上恰有一解，再利用正弦函数的单调性，结合函数的图象， 求得实数m的取值范围 【详解】函数 ， 令，求得，故函数的对称轴方程为， 将函数的图象向右平移 个单位长度，得到函数的图象， 若关于x的方程在上恰有一解，即在上恰有一解， 即 在上恰有一解 在上， 函数，当时，单调递增；当时，单调递减， 而， ，或，求得，或， 即实数m的取值范围 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的对称性，正弦函数的单调性，属于中档题 19.已知四面体ABCD中，是边长为 2 的正三角形 是AD上 除D外 任意一点，若，求AC的
15、长； 若，求二面角的正弦值 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 由，得平面ABD，从而，由此能求出AC； 记BD中点为O，设二面角的平面角为 ，则，由此能求出二面角 的正弦值 【详解】四面体ABCD中， ， 平面ABD， 平面ABD， ， ， 记BD中点为O， 是边长为 2 的正三角形， ， 设二面角的平面角为 ， 则， ， 解得， 二面角的正弦值为 【点睛】本题考查线段长、二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知 识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题 20.已知数列的前n项和为，且 求的通项公式； 设，是数列的前n项和，求 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 由，即时，可得：，又， ，满足上式，利用等比数列的通项公式即可得出； 为奇数时，时，为偶数时，当时， 时，即可得出 【详解】，即 时，可得：， 又，满足上式， 数列是等比数列，首项与公比都为 2 为奇数时， 时， 为偶数时， 当时， 时， ，时也成立 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法、分类讨论方法，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题 21.抛物线Q：，焦点为F 若是抛物线内一点，P是抛物线上任意一点，求的最小值； 过F的两条直线，
