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1、考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,考 纲 解 读,返回目录,1.以选择题的形式考查绝对值不等式,同时与不等式的性质相结合. 2.以考查绝对值不等式的解法为主,兼顾考查集合的交、并、补运算. 3.与函数、数列等知识综合考查不等式的证明方法.,考 向 预 测,返回目录,1.绝对值不等式的性质在求最值时有其独特的作用,特别要注意等号成立的条件. |a+b|=|a|+|b| ; |a-b|=|a|+|b| .,ab0,ab0,返回目录,2.|ax+b|c ; |ax+b|c ; 解|x-c|+|x-b|a采用方法 . 3.证明不等式的常用方法 (1)比较法:分 比较法和 两种.一般对于多
2、项式类和分式类的用作差比较法,对于含有幂指数类的用作商比较法. (2)综合法:利用已知条件和公式、定理等直接推导所要证明的不等式.其过程是“ ”.常用到以下不等:a20,(ab)20,a2+b22ab(a,bR), (a,bR+).,ax+b-c或ax+bc,-cax+bc,零点划分法,作差,作商比较法,由因导果,返回目录,(3)分析法:从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的条件,把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题.这是一种“ ”的方法. (4)放缩法:依据不等式的传递性,具有一定的技巧性.常用的放缩法有:加项或减项、利用比例的性质、利用均值不等式、利用函数单调性，一定要把握好“
3、 ”，使其恰到好处. (5)换元法:注意新元的取值范围,保证等价性. (6)含有“至多”“至少”“唯一”“不大于”“不小于”等词语的，考虑用反证法.,执果索因,度,返回目录,考点1 |ax+b|c(c)型不等式的解法,解不等式: (1) |2x-5|8; (2) |2-3x|7.,【分析】利用绝对值的意义,将绝对符号去掉.,返回目录,【解析】 (1)由原不等式得 -82x-58. - x . 原不等式的解集为x|- x . (2)由原不等式得 3x-27或3x-23或x3或x- .,返回目录,含绝对值的不等式的解法，关键是利用绝对值的意义去掉绝对值.在变形过程中要特别注意保证同解,同时还要注意
4、步骤的简捷与表达的明晰 ; 区别“并”还是“交”的关键是“或”还是“且” ，同时还要分清端点是否包括在内.,返回目录,解不等式:3|x-2|9.,解法一:原不等式等价于 |x-2|3, |x-2|9. x-23或x-2-3, x5或x-1, -9x-29, -7x11. 原不等式的解集为x|-7x-1或5x11.,即,返回目录,解法二:原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集. x-20, x-20, 3x-29, 32-x9. 不等式组（1）的解集为x|5x11. 不等式组(2)的解集为x|-7x-1. 原不等式的解集为x|-7x-1或5x11.,(1),(2),返回目录,解法三：不等式3
5、|x-2|9的几何意义是表示在数轴上到2的距离大于或等于3且小于9的点的集合.如图所示.原不等式的解集为x|-7x-1或5x11.,返回目录,考点2 |x-a|+|x-b|c(c)型不等式的解法,解不等式:|x-1|+|x+2|5.,【分析】这是一个含有两个绝对值符号的不等式,为了使其转化为不含绝对值符号的不等式,要对未知数x进行分类讨论,即用“零点划分法”将实数分成x-2,-2x1和x1三个部分进行讨论.,【解析】解法一:用“零点划分法”将实数分类： 令x-1=0得x=1;令x+2=0得x=-2. (1)当x-3. -3x-2.,返回目录,(2)当-2x1时,原不等式化为:-x+1+x+25
6、,即35恒成立. -2x1也是原不等式的解集. (3)当x1时,原不等式化为:x-1+x+25,即x2. 1x2. 综合(1)(2)(3)可知:原不等式的解集为:x|-3x2.,返回目录,解法二:不等式|x-1|+|x+2|5表示数轴上与点A和点两点距离之和小于5的点的集合,而A,B间距离为3,因此,线段AB上每一点到A,B的距离之和等于3.如图12-3-1所示.要找到与A,B距离之和为5的点,只需由点B向左移1个单位(此时距离之和增加2个单位),即移到点B1,或由点A向右移1个单位,移到点A1.可以看出,数轴上点B1向右和点A1向左之间的点到A,B距离之和小于5. 原不等式的解集为x|-3x
7、2.,返回目录,解法三:分别作函数y1=|x-1|+|x+2| -2x-1(x-2) 3(-2x1) 2x+1(x1) 和y2=5的图象,如图所示, 不难看出,要使y1y2,只需 -3x2. 原不等式的解集为x|-3x2.,=,返回目录,解这类含两个绝对值符号,且绝对值符号里是一次式的不等式,一般解法有三种,分别是“零点划分法”“利用绝对值的几何意义法”和“利用函数图象法”.,返回目录,设不等式|x+1|+|x-2|k的解集非空,求k的范围.,由y=|x+1|+|x-2|可知: 当x2时,y=2x-122-1=3; 当-1x2时,y=3; 当x-1时,y=-x-1+2-x=1-2x3. 即y3
8、,对于k|x+1|+|x-2|无解,即k|x+1|+|x-2|恒 成立,可知k3.即所求k的范围是(3,+).,返回目录,考点3 不等式的证明比较法,已知a，b，m，nR+.求证:am+n+bm+nambn+anbm.,【证明】am+n+bm+n-ambn-anbm =am(an-bn)+bm(bn-an)=(am-bm)(an-bn), y=xn,y=xm在(0,+)上是增函数， 当ab时，ambm,anbn;当ab时，ambm,anbn; 当a=b时，am=bm.故(am-bm)(an-bn)0. 所以am+n+bm+nambn+anbm.,【分析】可用比较法证明.,返回目录,(1)此题用
9、的是作差比较法,其步骤:作差、变形、判断差的符号、结论.其中判断差的符号为目的,变形是关键.常用的变形技巧有因式分解、配方、拆项、拼项等方法. (2)本题易错的地方:不讨论而直接判定出anbn,ambm.,返回目录,求证:x2+53x.,证明:(x2+5)-3x=x2-3x+5=x- + 0, x2+53x.,返回目录,考点4 不等式的证明综合法、分析法,若a,b,c均为正数，求证： .,【分析】证明时可用分析法，也可用综合法.,【证明】证法一:欲证 只要证 只要证 只要证(a+b+c) .,返回目录,(a+b+c) = (b+c)+(a+c)+(a+b) = ,故原不等式成立.,返回目录,证
10、法二： = = (a+b+c) -3 = (b+c)+(a+c)+(a+b) -3 -3= , .,返回目录,(1)本题证法一联合使用了综合法与分析法，实际上是以分析法为主，借助综合法，使证明的问题明朗化，此种方法称为分析综合法.分析综合法的实质是既充分利用已知条件，又时刻不忘解题目标，即不仅要搞清已知是什么，还要搞清干什么，瞻前顾后，便于找到解题途径. (2)本题证法二 是综合法,运用分析法易于找到思路,但书写较繁,所以常常用分析法探索证明途径,用综合法书写证明过程.,返回目录,2010年高考辽宁卷已知a,b,c均为正数,证明: a2+b2+c2+（ ）26 ,并确定a,b,c为何值 时，等
11、号成立.,【证明】证法一:因为a,b,c均为正数,由均值不等式得 a2+b2+c23(abc) , 3(abc) , 所以 9(abc) . 故a2+b2+c2+ 3(abc) +9(abc) .,返回目录,又3(abc) +9(abc) 2 =6 , 所以原不等式成立. 当且仅当a=b=c时,式和式等号成立. 当且仅当3(abc) =9(abc) 时,式等号成立. 故当且仅当a=b=c=3 时,原不等式等号成立.,返回目录,证法二:因为a,b,c均为正数,由基本不等式得 a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ac. 所以a2+b2+c2ab+bc+ac. 同理 故 所以原不等式成立
12、. 当且仅当a=b=c时,式和式等号成立，当且仅当a=b=c,(ab)2=(bc)2=(ac)2=3时，式等号成立. 故当且仅当a=b=c=3 时，原不等式等号成立.,返回目录,考点5 不等式的证明放缩法,【证明】 , 2( ). 令k=1,2,3,n，则有 2( -0), 2( -1), 2( - ), 2( - ). 以上各式相加得 1+ + + + 2 .,证明：不等式1+ + + 2 (nN*).,【分析】此种类型的题宜用放缩法.,返回目录,用放缩法时，放缩要有目标，才能放缩适度.用放缩法证明不等式的过程中, 往往采用添项或减项的“添舍”放缩、拆项对比的分项放缩、函数的 单调性放缩、重
13、要不等式的放缩等方法， 要注意合理使用，保证不等式的同向传递.,返回目录,已知a,b,c均为正数,且a+bc,求证: .,证明:a+bc, a+b-c0.由真分数的性质，可得,返回目录,考点6 不等式的证明反证法,已知函数f(x)=ax+ (a1). (1)证明:函数f(x)在(-1,+)上为增函数; (2)证明:方程f(x)=0没有负根.,【分析】 (1)利用单调性的定义;(2)用反证法.,返回目录,【证明】 (1)证法一:任取x1,x2(-1,+), 不妨设x10, 1且 0, - = ( -1)0. 又x1+10,x2+10, 于是f(x2)-f(x1)= - + 0. 故函数f(x)在
14、(-1,+)上为增函数.,返回目录,证法二:f(x)=ax+1- (a1). 求导得f(x)=axlna+ . a1,当x-1时,axlna0, 0, f(x)0在(-1,+)上恒成立, f(x)在(-1,+)上为增函数. (2)设存在x01, 0, f(x0)1与f(x0)=0矛盾,故方程f(x)=0没有负根.,返回目录,(1)用反证法证明命题“若p则q”时，可能会 出现以下三种情况： 导出非p为真,即与原命题的条件矛盾; 导出q为真,即与假设“非q为真”矛盾； 导出一个恒假命题. (2)适宜用反证法证明的数学命题: 结论本身是以否定形式出现的一类命题; 关于唯一性、存在性的命题； 结论以“至多”“至少”等形式出现的命题； 结论的反面比原结论更具体更容易研究的命题.,返回目录,(3)使用反证法证明
