《2018届高考数学理一轮复习 2.12 导数的应用精品课件 新人教a版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018届高考数学理一轮复习 2.12 导数的应用精品课件 新人教a版（52页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第十二节 导数的应用,1.了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次) 2了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次) 3会利用导数解决某些实际问题,一、函数的单调性与导数 在区间(a，b)内，函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 如果 ，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增； 如果 ，那么函数yf(x)在这个区间内单调递减； 如果 ，那么f(x)在这个区间内为常数,f(x)0,f(x)0,f(x)0,
2、二、函数的极值与导数 1函数的极小值 函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在xa附近其他点的函数值都小，f(a)0，而且在点xa附近的左侧 ，右侧 ，则点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值 2函数的极大值 函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近的其他点的函数值都大，f(b)0，而且在点xb附近的左侧 ，右侧 ，则点b叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值,f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)0,极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值 三、函数的最值 1如果在区间a，b上函数yf(x)的图象
3、是一条 的曲线，那么它必有最大值和最小值 2求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数yf(x)在(a，b)内的 (2)将函数yf(x)的各极值与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值,连续不断,极值,端点处的函数值f(a)、f(b),2设f(x)x(ax2bxc)(a0)在x1和x1处均有极值，则下列点中一定在x轴上的是( ) A(a，b) B(a，c) C(b，c) D(ab，c),4函数f(x)x33ax23(a2)x1既有极大值又有极小值，则a的取值范围是_ 解析：f(x)x33ax23(a2)x1， f(x)3x26ax3(a2) 令3x26ax3(a
4、2)0， 即x22axa20.,函数f(x)有极大值和极小值， 方程x22axa20有两个不相等的实根 即4a24a80，a2或a2或a1,5当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的底面半径为_时，才能使饮料罐的体积最大,热点之一 函数的单调性与导数 利用导数判断函数单调性是导数重要应用之一常见形式为： (1)求函数单调区间； (2)已知函数的单调区间，求有关参数的取值范围 (3)利用导数与函数单调性的关系解决有关函数与导函数图象问题,例1 已知aR，函数f(x)(x2ax)ex(xR，e为自然对数的底数) (1)当a2时，求函数f(x)的单调递增区间； (2)若函数f(x)在(1,1)上单
5、调递增，求a的取值范围； (3)函数f(x)是否为R上的单调函数，若是，求出a的取值范围；若不是，请说明理由,(2)函数f(x)在(1,1)上单调递增， f(x)0对x(1,1)都成立 f(x)(2xa)ex(x2ax)ex x2(a2)xaex， x2(a2)xaex0对x(1,1)都成立,(3)若函数f(x)在R上单调递减， 则f(x)0对xR都成立， 即x2(a2)xaex0对xR都成立 ex0，x2(a2)xa0对xR都成立 (a2)24a0，即a240，这是不可能的 故函数f(x)不可能在R上单调递减,若函数f(x)在R上单调递增， 则f(x)0对xR都成立， 即x2(a2)xaex
6、0对xR都成立， ex0，x2(a2)xa0对xR都成立 而(a2)24aa240， 故函数f(x)不可能在R上单调递增 综上可知，函数f(x)不可能是R上的单调函数,热点之二 函数的极值与导数 求可导函数f(x)的极值的步骤： (1)求导数f(x)； (2)求方程f(x)0的根； (3)检验f(x)在方程f(x)0的根的左右两侧的符号：如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数yf(x)在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数yf(x)在这个根处取得极小值,热点之三 函数的最值与导数 1函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的
7、最大值，最小值必须是整个区间上所有函数值中的最小值 2函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值,例3 已知a是实数，函数f(x)x2(xa) (1)若f(1)3，求a的值及曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程； (2)求f(x)在区间0,2上的最大值 思路探究 (1)由f(1)3可求a值求切线方程只需求斜率k及点(1，f(1)的坐标(2)可先判断f(x)的单调性及
8、极值，再与f(0)，f(2)比较，即可求出最大值,热点之四 导数的综合应用 综合应用是指结合方程、不等式其他分支内容的综合考查，此类问题一般综合性强，涉及面广，较繁杂，难度一般也较大，主要体现形式为解答题，内容形式多为构造函数、利用导数研究方程根的分布，两曲线交点个数，利用导数证明不等式，解决有关不等式问题，求不等式有解或恒成立时参数的取值,例4 设a0，f(x)x1ln2x2alnx(x0) (1)令F(x)xf(x)，讨论F(x)在(0，)内的单调性并求极值； (2)求证：当x1时，恒有xln2x2alnx1. 思路探究 用导数证明不等式需要通过构造函数并求函数的最值,所以，F(x)在(0
9、,2)内单调递减，在(2，)内单调递增，在x2处取得极小值F(2)22ln22a. (2)证明：由a0知，F(2)22ln22a0. 于是由上表知，对一切x(0，)，恒有F(x)xf(x)0. 从而当x0时，恒有f(x)0，故f(x)在(0，)内单调递增所以当x1时，f(x)f(1)0，即x1ln2x2alnx0.故当x1时，恒有xln2x2alnx1.,思维拓展 欲证不等式f(x)g(x)，设F(x)f(x)g(x)，即证F(x)min0，而欲证方程f(x)0有多少个解，即求f(x)的极值，结合图象，通过极值的正负决定解的个数，注意：函数图象要连续,从近两年的高考试题来看，利用导数来研究函数
10、的单调性和极值问题已成为炙手可热的考点，既有小题，也有解答题，小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，解答题主要考查导数与函数单调性，或方程、不等式的综合应用,例5 (2010全国)已知函数f(x)(x1)lnxx1. (1)若xf(x)x2ax1.求a的取值范围； (2)证明：(x1)f(x)0.,(2)由(1)知，g(x)g(1)1， 即lnxx10. 当0x1时， f(x)(x1)lnxx1 xlnx(lnxx1)0；,1(2010课标全国)设函数f(x)ex1xax2. (1)若a0，求f(x)的单调区间； (2)若当x0时，f(x)0，求a的取值范围 解：(1)当a0时，f(x)ex1x，f(x)ex1. 当x(，0)时，f(x)0. 故f(x)在(，0)单调减少，在(0，)单调增加,(2)f(x)ex12ax. 由(1)知ex1x，当且仅当x0时等号成立 故f(x)x2ax(12a)x， 从而当12a0，即a时，f(x)0(x0)，而f(0)0，于是当x0时，f(x)0. 由ex1x(x0)可得ex1x(x0),
