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1、,第九节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布,1.理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念 2能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题 3利用实际问题的直方图，了解正态分布的特点及曲线所表示的意义,1离散型随机变量的均值与方差 (1)均值 若离散型随机变量的概率分布为,则的数学期望(或平均数、均值，简称期望)为 Ex1p1x2p2xnpn 它反映了离散型随机变量取值的平均水平 (2)方差 如果离散型随机变量所有可能取的值是x1，x2，xn，且取这些值的概率分别是p1，p2，pn，那么 D()(x1E)2p1(x2E)2p2(xnE)2pn叫做的方差,随机变量的方差与标
2、准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度(标准差与随机变量本身有相同的单位) (3)若服从二项分布，即B(n，p)，则 Enp，Dnp(1p)两点分布，则Ep，Dp(1p),2均值、方差的性质及应用 (1)ECC(C为常数)； (2)E(ab)aEb(a、b为常数)； (3)D(ab)a2D.,3正态分布 (1)函数,(2)正态总体几乎总取值于区间(3，3)之内，而在此区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生,1设随机变量B(n，p)，且E1.6，D1.28，则( ) An8，p0.2 Bn4，p0.4 Cn5，p0.32 Dn7，p0.45
3、,答案：A,2如果是离散型随机变量，32，那么( ) AE3E2，D9D BE3E，D3D2 CE3E2，D9E4 DE3E4，D3D2 答案：A,解析：E2，E(21)2E1 5. 答案：D,4一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望_,热点之一 求离散型随机变量的期望与方差 求离散型随机变量X的均值与方差的步骤： 1理解X的意义，写出Y的所有可能取值； 2求X取每个值的概率； 3写出X的分布列； 4由均值的定义求EX； 5由方差的定义求DX.,例1 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记
4、上n号的有n个(n1,2,3,4)现从袋中任取一个，表示所取球的标号 (1)求的分布列、期望和方差； (2)若ab，E1，D11，试求a，b的值,(2)由Da2D，得a22.7511， 即a2. 又EaEb，,当a2时，由121.5b，得b2； 当a2时，由121.5b，得b4.,思维拓展 在计算离散型随机变量的期望与方差时，首先要弄清其分布特征，正确求出分布列，这是求均值和方差的前提，然后准确应用公式，特别是充分利用期望和方差的性质解题，善于使用公式E(aXb)aEXb，D(aXb)a2DX，能避免繁琐的运算过程，提高运算速度和准确度,即时训练 某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个
5、白球，1个红球的箱子中每次随机地摸出1个球，记下颜色后放回，摸出1个红球可获得奖金10元；摸出2个红球可获得奖金50元，现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令X表示甲，乙摸球后获得的奖金总额求： (1)X的概率分布； (2)X的数学期望,解：摸球的情形有以下5种：甲1白，乙2白(0元)；甲1红，乙2白或甲1白，乙1红1白(10元)；甲1红，乙1红1白(20元)；甲1白，乙2红(50元)；甲1红，乙2红(60元) (1)X的所有可能的取值为0,10,20,50,60，,热点之二 期望与方差的性质及应用 利用均值和方差的性质，可以避免复杂的运算常用性质有： (1)ECC(C为常数)； (
6、2)E(aXb)aEXb(a，b为常数)； (3)E(X1X2)EX1EX2；E(aX1bX2)aE(X1)bE(X2)；,思维拓展 1.要掌握简单的方差与期望计算 2公式运用要严密准确,即时训练 如果X是离散型随机变量，EX6，DX0.5，X12X5，那么EX1和DX1分别是( ) A12,1 B7,1 C12,2 D7,2 解析：因为E(aXb)aEXb，D(aXb)a2DX，由已知可得EX17，DX12，应选D. 答案：D,热点之三 与二项分布有关的期望与方差 当随机变量X服从两点分布或二项分布时，可不用列出分布列，直接由公式求出EX和DX.,思路探究 解答该5个问题可以认为是5次独立重
7、复试验，答对问题的个数服从二项分布，求的期望与方差可通过与的线性关系间接求出,思维拓展 (1)当求随机变量的期望与方差时，可首先分析是否服从二项分布，如果服从，则用公式求解，可大大减少运算量(2)注意利用E(ab)aEb及D(ab)a2D求期望与方差,即时训练 某运动员投篮命中率为p0.6. (1)求一次投篮时命中次数X的期望与方差； (2)求重复5次投篮时，命中次数的期望与方差,2要记住正态变量的取值位于三个区间内的概率值在求解实际问题时，先求出正态分布的两个重要参数和的值，然后结合三个区间对应的概率值进行解答,即时训练 把一正态曲线C1沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线C2，下
8、列说法不正确的是( ) A曲线C2仍是正态曲线 B曲线C1，C2的最高点的纵坐标相等 C以曲线C2为概率密度曲线的总体的方差比以曲线C1为概率密度曲线的总体的方差大2 D以曲线C2为概率密度曲线的总体的期望比以曲线C1为概率密度曲线的总体的期望大2,答案：C,本节是理科高考中的重点内容之一，题型以解答题为主，考查随机变量的概率、分布列、期望和方差等，大多以实际问题为背景，涉及排列组合、互斥事件的概率、相互独立事件的概率、条件概率等，考查利用所学知识解决实际问题的能力,例5 (2010全国)如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，
9、电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.,(1)求p； (2)求电流能在M与N之间通过的概率； (3)表示T1，T2，T3，T4中能通过电流的元件个数，求的期望 解 记Ai表示事件：电流能通过Ti，i1,2,3,4. A表示事件：T1，T2，T3中至少有一个能通过电流 B表示事件：电流能在M与N之间通过,0.90.10.90.90.10.10.90.9 0.9891. (3)由于电流能通过各元件的概率都是0.9，且电流能否通过各元件相互独立，B(4,0.9)， E40.93.6.,1(2010课标全国)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为( ) A100 B200 C300 D400 解析：EX10000.9010000.12200. 答案：B,2(2010湖北高考)某射手射击所得环数的分布列如下： 已知的期望E8.9，则y的值为_,答案：0.4,
