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1、第九单元 平面解析几何,知识体系,第八节 抛物线,基础梳理,1. 抛物线的定义 平面内到一个定点F和一条定直线l（F不在l上）的距离 的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的 .,2. 抛物线的标准方程和几何性质,相等,准线,x0,yR,x0,yR,x轴,O(0,0),1,y0,xR,y0,xR,y轴,O(0,0),1,典例分析,题型一 抛物线的定义及应用,【例1】 已知抛物线y2=2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A（3，2），求PA+PF的最小值，并求出取最小值时P点的坐标.,分析 抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，求PA+PF的问题可转
2、化为PA+d的问题，运用三点共线可使问题得到解决.,解 将x=3代入抛物线方程 y2=2x,得y= . 2,点A在抛物线内部.,设抛物线上点P到准线l:x= 的距离为d，由定义知PA+PF=PA+d.由图可知当PAl时，PA+d最小，最小值为 ，即PA+PF的最小值为 .此时P点纵坐标为2，代入y2=2x，得x=2，即点P的坐标为（2，2）.,学后反思 灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价转化，是抛物线定义的重要应用.,举一反三,1. 若例题中A点坐标变为（2，3），求PA+PF的最小值.,解析： 将x=2代入抛物线方程，得y=2， 32,点A在抛物线的外部. PA+PFAF
3、= ， A、P、F三点共线时有最小值，最小值为 .,解析： 将x=2代入抛物线方程，得y=2， 32,点A在抛物线的外部. PA+PFAF= ， A、P、F三点共线时有最小值，最小值为 .,题型二 抛物线的几何性质和标准方程,【例2】已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点A（m,-3）到焦点F的距离为5，求m的值，并写出此抛物线的方程.,分析 因点A（m,-3）在直线y=-3上，所以抛物线的开口方向存在向左、向右、向下三种情况，必须分类讨论.,解 (1)若抛物线开口方向向下， 设抛物线方程为x2=-2py(p0), 这时准线方程为y= . 由抛物线定义知 -(-3)=5，解
4、得p=4, 所以抛物线方程为x2=-8y. 这时将点A（m,-3)代入方程，得m= ; (2)若抛物线开口方向向左或向右，可设抛物线方程为y2=2ax(a0)，从p=|a|知准线方程可统一成x=- 的形式，于是由题设得 | +m|=5， 2am=9， 解此方程组可得四组解 a1=1, a2=-1, a3=9, a4=-9, m1=92, m2=-1, m3=12, m4=-12.,抛物线共有四条：y2=2x,m ;y2=-2x,m=- ; y2=18x,m= ;y2=-18x,m=- .,学后反思 抛物线的标准方程有四种.在求解过程中，首先要根据题目描述的几何性质判断方程形式， 若只能判断对称
5、轴，而不能判断开口方向，需分情况讨论，此时可设为x2=ay(a0)或y2=ax(a0)以减少讨论次数和运算量,然后利用特定系数法和已知条件求解.,举一反三 2. 抛物线 (p0)有一内接直角三角形，直角顶点在原点，一直角边的方程是y=2x,斜边长是 ,求此抛物线方程.,解析： 设AOB为题中直角三角形，OA边的方程为y=2x,则OB边的方程为 由 ,得A( ,p), 由 ,得B(8p,-4p). 则由|AB|= ,得 ,且p0, 解得 所求抛物线方程为,题型三 直线与抛物线,【例3】（14分)已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的直线交抛物线于A（x1,y1),B(x2,y2)两点. 求证
6、：（1）x1x2为定值；（2） 为定值.,分析 要证明x1x2为定值，需把直线AB的方程与抛物线方程联立，消去y后，用韦达定理求解;证明 为定值，则要结合用抛物线的定义解决问题.,证明 （1）抛物线y2=2px的焦点为F( ,0)，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=k(x- )(k0). .2 由 y=k(x- ), y2=2px 消去y，整理得,k2x2-p(k2+2)x+ =0. 4 由韦达定理得，x1x2= （定值）. .6 当ABx轴时，x1=x2= ,x1x2= 也成立. 8 (2)由抛物线的定义知，FA=x1+ ，FB=x2+ . 10 所以 .12 故 为定值. 14
7、,学后反思 解决直线与抛物线位置关系的问题，一般要用到根与系数之间的关系.,举一反三 3. (2009全国改编)已知直线y=k(x+2)(k0)与抛物线 C： 相交于A,B两点，F为C的焦点，若FA=2FB,求k的值.,解析： 抛物线C: 的准线为l:x=-2, 直线y=k(x+2)(k0)恒过定点P(-2,0). 如图,过A、B分别作AMl于M，BNl于N. 由FA=2FB,得AM=2BN,点B为AP的中点，连接OB，则 OB= AF,OB=BF,即点B的横坐标为1，代入抛物线方程得点B的坐标为(1, ),题型四 抛物线的应用 【例4】某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔如图所示，已知上部呈抛
8、物线形，跨度为20米,拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米，现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部分中央船体高5米，宽16米，且该货船在现在状况下还可多装1 000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0.04米，若不考虑水下深度，问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过桥孔？为什么？,分析 从题目中的信息可以看出，建立适当坐标系后，可求出抛物线标准方程，然后，求出船体距水面的高度，并结合已知数据，进行判断，得出结论.,解 如图所示，建立直角坐标系. 设抛物线方程为y=ax2, 则A(10,-2)在抛线物上， 方程即为 ,让货船沿正中央航行. 船宽16米，而当x=
9、8米时， (米)， B点离水面高度为-1.28-(-6)=4.72(米). 船体距水面高度为5米, 无法直接通过. 又5-4.72=0.28(米)，0.280.04=7, 而1507=1 050吨1 000吨， 用多装货物的方法也无法通过，只好等待水位下降.,学后反思 求实际应用问题的解题关键在于读取信息，梳理信息，转化信息，如有不慎，则可能导致全题解错，故应重视并加强对上述步骤的训练.成功解决实际问题，关键在于成功转化信息，而成功转化信息则重在对抽象数学模型的建立，转化时要注意实际背景中的限制条件.,举一反三 4. 如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的
10、轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处，已知灯口的直径是24 cm,灯深10 cm,那灯泡与反射镜的顶点(即截得抛物线的顶点)距离是多少？,解析： 取反射镜的轴即抛物线的轴为x轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立直角坐标系xOy，如图. 灯口直径|AB|=24 cm,灯深|OP|=10 cm, 点A的坐标是(10,12). 设抛物线的方程为 (p0), 点A(10,12)在抛物线上，得 p=7.2. 抛物线焦点F的坐标为(3.6,0). 因此，灯泡与反射镜顶点的距离是3.6 cm.,易错警示,【例】动点M（x,y)到y轴的距离比它到定点（2，0）的距离小2，求动点M(x,y)的轨迹方程.,错解分析 错解中只
11、求出了在x0的情况下的M的轨迹方程，忽视了x0的情况.,错解 动点M到y轴的距离比它到定点（2，0）的距离小2， 动点M到定点（2，0）的距离与到定直线x=-2的距离相等， 动点M的轨迹是以（2，0）为焦点，x=-2为准线的抛物线，且p=4， 抛物线方程为 ，即M的轨迹方程.,正解 方法一：（1）当x0时，解法同错解，得 (2)当x0时，由于x轴上原点左侧的点到y轴的距离比它到（2，0）的距离小2, 所以点M的轨迹方程为y=0(x0). 综上，M的轨迹方程为y=0(x0)和 (x0). 方法二:设M(x,y)，则有 即 化简得 ,x0, ,x0. 所以M的轨迹方程为y=0(x0)和 (x0).
12、,考点演练,10. (2009天津改编)设抛物线 的焦点为F，过点M（ ,0）的直线与抛物线相交于A,B两点，与抛物线的准线相交于C，|BF|=2,求BCF与ACF的面积之比,解析: 不妨设直线斜率小于0且点B在x轴上方，则B( , )又M( ,0),设A( , ), 联立 ,解得 或 ,11. 如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2）， ， 均在抛物线上. （1）写出该抛物线的方程及其准线方程； （2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求 的值及直线AB的斜率.,解析： （1）由已知条件，可设抛物线的方程为 点P（1，2）在抛物线上， ，解得p=2. 所求抛物线的方程
13、是 ,准线方程是x=-1. （2）设直线PA的斜率为 ，直线PB的斜率为 则 ,PA与PB的斜率存在且倾斜角互补, 由 , 均在抛物线上，得 ， ， . 由-得直线AB的斜率为,12.如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水 位时AB的宽为20 m，如果水位上升3 m时， 水面CD的宽为10 m.,(1)建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式； (2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地.已知甲地距此桥280 km（桥长忽略不计），货车正以每小时40 km的速度开往乙地，当行驶1小时时，突然接到紧急通知：前方连降暴雨造成水位以每小时0.25 m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行）.,试问：如果货车按原来的速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少km？,解析： （1）设抛物线方程为x2=-2py(p0), xB=10,xD=5. 所以yD-yB= ，解得2p=25, 故方程为x2=-25y. （2）令x=5，则y=-1，即水位到达最高点O时，需 （小时）；货车从接到通知到到达此桥需 (小时）， 因此货车按原来速度行驶，不能安全通过此桥. 要使货车安全通过此桥，速度应满足 60. 故速度应超过每小时60 km.,
