《2018届高考数学第一轮总复习经典实用 4-6三角函数的最值和应用问题学案课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018届高考数学第一轮总复习经典实用 4-6三角函数的最值和应用问题学案课件（46页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、基础知识 一、三角函数最值的基本问题 1函数ysinx当且仅当x 时取得最大值 ，当且仅当x 时取得最小值 ；函数yAsin(wx)(A0)，当且仅当x 时取得最大值 ，当且仅当x 时取得最小值 .,1,1,A,A,2函数ycosx当且仅当x2k(kZ)时取得最大值 ；当且仅当x 时取得最小值 ；函数yAcos(wx)(A0)，当且仅当x 时取得最大值 ，当且仅当x 时取得最小值 .,2k,1,1,A,A,3函数yasinxbcosx的最大值是 ，最小值是 .,二、三角函数最值问题的五大题型 1可转化为利用正、余弦函数的有界性求解的最值问题主要有以下两种类型： 可将函数式化为yAsin(wx)
2、的形式求解的问题，形如y 或者形如y 的函数适用,2可转化为求二次函数yat2btc(a0)在闭区间1,1上的最值问题，典型的是： 形如 (a0)的最值；形如 的最值； 3转化为可利用均值不等式求解的最值问题，例如 函数ysinx 的最值； 某些带约束(隐含)条件的最值 4利用其它方法求解的最值问题(如利用单调性、判别式、图象法等) 5含参数的逆向思考的问题,yasin2xbsinxc,yA,(sinxcosx)Bsinxcosx,三、三角函数应用问题的特点和处理方法 1三角函数的实际应用是指：用三角函数理论解答生产、科研和日常生活中的实际问题 2三角函数应用题的特点是： (1)实际问题的意义
3、反应在三角形中的边、角关系上，这样的三角形有直角三角形、斜三角形，有时一个问题中既有直角三角形又有斜三角形； (2)函数的模型多种多样，有三角函数、代数函数，有时同一个问题中三角函数与代数函数并存,3解决三角函数应用问题和解决一般应用性问题一样，先建模，再讨论变量的性质，最后作出结论并回答问题,易错知识 一、求值域失误 1若|x| 函数f(x)cos2xsinx的最小值为_,二、换元时不注意新元范围易出错 2已知sinxsiny ，求sinycos2x的最小值和最大值 思路点拨：可把siny sinx代入所求式，然后转化为三角函数与二次函数复合的函数，然后利用二次函数求最值的方法求解,方法技巧
4、：一定要求换元后变量的范围，有时范围是明显的，但有时是隐含的，如本题，此时更应挖掘隐含条件,温馨提示：常见以下错解：,回归教材 答案：B,2函数ysinx cosx的最大值为_ 答案：2 3已知函数f(x)sin(x)cos(x)在x3时取得最大值，则的一个值可以是 ( ) 答案：B,5函数ysin2x2cosx在区间 上最小值为 ，则的取值范围是_,【例1】 求下列函数的值域： (1)ytanx(|x|1)； (4)ysin2x2sinxcosx3cos2x；,分析 三角函数属于初等函数，因而前面学过的求函数值域的一般方法，也适用于三角函数但涉及正弦、余弦函数的值域时，应注意正弦、余弦函数的
5、有界性，即|sinx|1， |cosx|1对值域的影响,解答 (1)由正切函数ytanx的图象(图略) 可知，当|x|1时，函数ytanx在1,1上为增函数，因此ytanx的值域是：tan1，tan1,答案：B,(2009天津河东)函数f(x)sin4x2sinxcosxcos4x的最小值是 ( ) 答案：C,【例2】 (2008福建，17)已知向量m(sinA，cosA)，n(1，2)，且mn0. (1)求tanA的值； (2)求函数f(x)cos2xtanAsinx(xR)的值域 解析 (1)由题意得mnsinA2cosA0， 因为cosA0，所以tanA2.,(2)由(1)中tanA2，
6、得 f(x)cos2x2sinx12sin2x2sinx 因为xR，所以sinx1,1 当sinx1时，f(x)有最小值3，,(1)求函数f(x)的解析式，并求当a0时函数f(x)的单调增区间；,本节知识应用广泛，不仅应用于物理、化学、机械化等各学科，在日常生活、生产中也有广泛应用，此类问题的关键是选择适当的角作自变量，建立三角函数模型，利用三角函数求最值的方法解决问题,【例3】 (05辽宁，12分)如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称，邻边互相垂直的十字形，其中yx0. (1)将十字形的面积表示为的函数； (2)为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？,解析 (1)设S为十字形的面
7、积，则S2xyx22sincoscos2,总结评述 必要的转化变形为模式的套用铺平道路设法将已知条件适当转化成能直接运用公式asinbcos sin()求解最值是解答本题的关键，运用此公式还可以解决周期、单调区间等问题,某体育馆拟用运动场的边角地建一个矩形的健身室，如图所示，ABCD是一块边长为50米的正方形地皮，扇形CEF是运动场的一部分，其半径为40米，矩形AGHM就是拟建的健身室，其中G、M分别在AB和AD上，H在弧EF上，设矩形AGHM的面积为S，HCF，请将S表示为的函数，并指出当点H在弧EF何处时，该健身室的面积最大，最大面积是多少？,解析：如图延长GH交CD于P.因为GHAM，H
8、PCD，又HCPHCF，CH40，所以HPCHsin40sin，CPCHcos40cos.于是HG5040sin，HM5040cos，所以矩形AGHM的面积SHGHM(5040sin)(5040cos)，,整理得S1002520(sincos)16sincos设sincost，则2sincost21.因为0 ，所以1t .所以S1002520t8(t21)100(8t220t17)800(t )2450.当t1时，S有最大值，且S最大值500.此时，2sincos0，即sin20.因为02，所以0或,答：当H在弧EF的端点E或F处时，健身室面积最大最大面积为500平方米 总结评述：本题是三角函
9、数实际应用问题，由题意结合图形，在直角三角形中利用三角函数关系，用已知长度和角度去构建三角函数关系，再利用换元法推导出函数的最值,1求三角函数最值的常用方法有：配方法(主要利用二次函数理论及三角函数的有界性)；化为一个角的三角函数(主要利用和差角公式及三角函数的有界性)；数形结合法(常用到直线的斜率关系)；换元法(如万能公式，将三角问题转化为代数问题)；基本不等式法等 2求三角函数最值时，一般要进行一些代数变换和三角变换，要注意变换前后函数的等价性,3对含参数的函数的最值问题，要特别重视参数的作用，要对参数的不同取值范围进行分类讨论 4在求有关几何图形的最值问题时，应侧重于将其化成三角函数问题来解决 5三角函数不仅可以解决三角运算，通常也可以用于代数运算与几何运算，同时还可以用于解决实际问题,请同学们认真完成课后强化作业,
