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1、不等式的应用,1.不等式理论的应用主要体现在如下几个方面:,（1）运用不等式研究函数问题（定义域,值域,最值,单调性）;,（2）运用不等式研究方程解的问题;,（3）利用函数性质及方程理论研究不等式问题.诸如方程的根 分布问题,解集之间的包含关系,解析几何中的范围问题等等.,2.不等式在实际生活中的应用是指用不等式解决生产,科研和日常生活中的问题.,特别警示:【1】运用不等式求最值,要注意公式成立的三个条件, 如果取等号的条件不成立,就要考虑用函数的单调性来解决.,【2】解决取值范围问题时,要注意主变量,参变量的分离, 并注意区别恒成立,存在性问题的区别,【3】应用不等式解应用题时,应弄清题意根
2、据题意列出不等式或函数式,再利用不等式的知识求解.为此,解应用题要过四关:首先是阅读关,即读懂题目,能够概括出问题涉及哪些内容;其次是理解关,即能准确理解和把握这些量之间的关系;然后建立数学模型,再讨论不等关系;最后得出结论.,本节课我们来讨论如何应用不等式解决实际应用问题:,例1某住宅小区为了使居民有一个舒适的生活环境,计划建一个八边,形的休闲小区,它的主体构造的平面图形是由两个矩形ABCD,EFGH构成的面积为平方米的十字架地域现计划在正方形上建造一花坛造价为元平米，在四个相同的矩形上 （阴影）铺花岗地坪，造价为元平米，在四个空角铺草坪，造价为 元平米,（）设总造价为S元，AD的边长为X（
3、m）试建立S关于 X的函数关系式； （）计划至少要投资多少元，才能建造这个休闲小区？,分析：,解：（）设AM=y则,（2）,当且仅当,答：计划至少要投资万元才能建造这样的休闲小区,即 时,例2、甲、乙两电脑批发商每次在同一电脑耗材厂以相同价格购进电脑芯片。甲、乙两公司共购芯片两次，每次的芯片价格不同，甲公司每次购10000片芯片，乙公司每次购10000元芯片，两次购芯片，哪家公司平均成本低？请给出证明过程。,分析：,设第一、第二次购芯片的价格分别为每片a元和b元，列出甲、乙两公司的平均价格，然后利用不等式知识论证。,解：,设第一、第二次购芯片的价格分别为每片a元和b元，,答：乙 公司平均成本较
4、低。,例3、某城市出租车公司有两种计费方案可供乘客选择：第一种方案，租用起步价a元，每千米价为b元的出租车；第二种方案，起步价为c(ca)元，但每千米价增加0.1元的出租车，按出租车管理条例，在起步价内，不同型号行驶的里程是相等的，则乘客应如何根据不同情况选用两种方案中的一种？,分析：,设起步价内行驶里程为n千米，该城内从A地到B地的行驶距离为m千米，分m与n情况讨论。,解：,设起步价内行驶里程为n千米，乘客租车行驶距离为m千米。,例4、建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小于百分之十，并且这个比越大，住宅的采光条件越好，问同时增加相等的窗户
5、面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了还是变坏了？,分析：,设原住宅窗户面积和地板面积分别为x,y,同时增加的面积为a,依题意列出关系式再利用不等式证明知识进行说明。,解：,设原住宅窗户面积和地板面积分别为x,y,同时增加的面积为a，,增大面积后的采光比为,为比较采光比的大小，,因为x,y,a都是正数，且x0,y-x0,故采光条件变好了。,例5,如图，教室的墙壁上挂着一块黑板，它的上、下边缘分别在学生的水平视线上方a米和b米，问学生距离墙壁多远时看黑板的视角最大？,例6、 某县一中计划把一块边长为20米的等边三角形ABC的边角地辟为植物新品种实验基地，图中DE需把基地分成面积相等的两部分，D在
6、AB上，E在AC上。 （1） 设AD=x(x10)，ED=y，试用x表示y的函数关系式； （2） 如果DE是灌溉输水管道的位置，为了节约，则希望它最短，DE的位置应该在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应该在哪里？说明现由。,分析要求y与x的函数关系式，就是找出DE与AD的等量关系。,（1）三角形ADE中角A为600 故由余弦定理可得y、x、AE三者关系。,（2）,解：（I）ABC的边长为20米，D在AB上，则10x20。,则,在三角形ADE中，由余弦定理得：,(2)若DE做为输水管道，则需求y的最小值,若DE做为参观线路，须求y的最大值。,令,设,当100t10,f(t1)
7、f(t2)， 则f(t)在100，200上是减函数。,当200t10，又t1-t20,f(t1)f(t2)， 则f(t)在200，400上是增函数。,故若DE是输水管道的位置，则需使 若DE是参观线路，则需使x=10或20,当t=200，即 当t=100或t=400即x=10或20时，,思考题：,某建筑工地要挖一个横截面为半圆的圆柱形土坑，挖出的土只能沿，运到处（如图）其中米，米，度请问怎样运土，才能最省工？,提示:本应用题是挖掘不等量关系,建立直角坐标系,利用点的集合性质,构建圆锥曲线模型(分界线),从而确定最优化区域问题.,2上因特网的费用由两部分组成:电话费和上网费.以前西安地区通过”古
8、城热线”上因特网的费用为:电话费为0.12元/3分钟,上网费为0.12元/分钟.根据信息产业部因特网资费的要求,自1999年3月1日起,本地上因特网的资费调整为:电话费为0.16元/3分钟,上网时间不超过60小时的,上网费以4.00元/小时计算,超过60小时的部分,以8.00元/小时计算. (1)根据调整后的规定,将每月上网的费用表示为上网时间(小时)的函数(每月按30天计); (2)某网民在其家庭经济预算中一直有一笔每月60小时的费用支出,因特网资费调整后,若要不超过其家庭经济预算中的上网支出,该网民现在每月可上网多少小时? (3)从张价和降价的角度分析西安地区调整前,后上因特网的费用情况.,小结:,本节课我们讨论了不等式的实际应用,首先读懂题目,理解题目是关键;其次要把握好量与量之间的关系,建立不等式模型,再讨论不等关系:最后得出问题的结论. 通过本节课的这些例子,希望同学们能够认真的体会,掌握!,总结升华（不等式综合应用）,1.在给定区间不等式的能成立和恒成立是两类不同的问题。二者都可以采用数形合，用解不等式（组）来解，但有时会很麻烦。一般用分离变量的 思想方法求解，简单明了，即在xa,b时，mf（x）有解，只要mf（x）min，而在xa,b时，mf（x）恒成立，则需要mf（x）max。 如P195（P144例3）,同学们再见！,
