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1、第三章 函数的应用,31 函数与方程 31.1 方程的根与函数的零点,1方程x22x30的根为_；函数yx2 2x3与x轴的交点为_ 2函数y2x28x1的对称轴为_，顶点坐 标为_ 3函数图象作图方法：以解析式表示的函数作 图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法 作函数图象的步骤：(1)确定函数的定义域；(2) 化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即单调性 、奇偶性、周期性、最值(甚至变化趋势)；(4)描 点连线，画出函数的图象,(1,0)(3,0),1,3,x2,(2，7),1函数的零点 对于函数yf(x)，把_叫做函数 yf(x)的零点 2方程、函数、图象之间的关系 方程f(x)0
2、_函数yf(x)的图象_ _函数yf(x)_ 3函数零点的判定 如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是_ _的一条曲线，并且有_，那么， 函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在 c(a，b)，使得_，这个c也就是方程f(x) 0的根,使f(x)0的实数x,有实数根,与x轴,有交点,有零点,连续,不断,f(a)f(b)0,f(c)0,1yx2的图象与x轴的交点坐标及其零点分别是( ) A2；2 B(2,0)；2 C2；2 D(2,0)；2 解析： 由yx20，得x2， 故交点坐标为(2,0)，零点是2. 答案： B,答案： D,答案： 1,4函数f(x)x2axb的两个零点是2和3，求
3、函数g(x)bx2ax1的零点,根据函数零点与相应方程的根之间的关系，知求函数的零点就是求相应方程的根.,解题过程 (1)f(x)x22x3 (x3)(x1)， 方程x22x30的两根分别是3或1. 故函数的零点是3,1. (2)f(x)x41 (x21)(x1)(x1)， 方程x410的实数根是1或1. 故函数的零点是1,1.,题后感悟 当函数对应的方程比较容易求解时，可通过解方程的方法求函数的零点，方程有几个解，函数就有几个零点,(3)令f(x)0，即x35x26x0 x(x25x6)0 x(x6)(x1)0 x11或x20或x36 f(x)有三个零点1,0,6.,判断区间左端点f(a)的
4、符号判断区间右端点f(b)的符号判断f(a)f(b)是否小于0确定零点所在区间,答案： B,题后感悟 (1)要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用，若f(x)图象在a，b上连续，且f(a)f(b)0，则f(x)在(a，b)上不一定没有零点 (2)如果函数通过零点时函数值的符号发生改变，称这样的零点为变号零点；否则，若函数通过零点时不变号，称之为不变号零点如函数yx2的零点就是不变号零点,解析： f(x)exx2 f(0)e0210 f(0)f(1)0 在区间(0,1)上至少存在一个零点故选C. 答案： C,策略点睛,(2)若方程x2(m1)x2m0有两个不相等的实根，
5、当只有一根在(0,1)上时，f(0)f(1)0， 即2m(m2)0，得2m0； 当f(0)0时，m0，方程化为x2x0，根为x10，x21，满足题意； 当f(1)0时，m2，方程化为x23x40，根为x11，x24，满足题意 综上所述，实数m的取值范围为2,0,题后感悟 二次函数零点问题即是二次方程根的分布问题 解决有关根的分布问题应注意以下几点： (1)首先画出符合题意的草图，转化为函数问题 (2)结合草图考虑四个方面：与0的大小；对称轴与所给端点值的关系；端点的函数值与零的关系；开口方向,若方程2ax2x10有两个不相等的实根，其中一根在(0,1)内，则有f(0)f(1)1.综上所述，a的
6、取值范围是(1，),1函数的零点的理解 (1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零 (2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是f(x)0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)0是否有实根，有几个实根 注意 函数F(x)f(x)g(x)的零点就是方程f(x)g(x)的实数根，也就是函数yf(x)的图象与yg(x)的图象交点的横坐标,2函数零点与方程的根的关系 根据函数零点的定义可知：函数f(x)的零点，就是方程f(x)0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)0是否有实数根、有几个实数根 函数零点的求法：解方程f(x
7、)0，所得实数根就是f(x)的零点 3函数零点的判定 判断一个函数是否有零点，首先看函数f(x)在区间a，b上的图象是否连续，并且是否存在f(a)f(b)0，若存在，那么函数yf(x)在区间(a，b)内必有零点,注意 对于函数f(x)，若存在f(a)f(b)0，则f(x)在区间(a，b)内有零点，若只有一个零点，则称此零点为变号零点，反过来，若f(a)与f(b)不变号，而是同号，即不满足f(a)f(b)0，也不能说函数无零点,【错解】 因为f(1)2，f(1)2，且x0时，f(x)0，所以yf(x)有一个零点，故选B.,【正解】 函数的定义域为xR，且x0，当x0时，f(x)0，当x0时，f(x)0，所以函数没有零点，故选A. 答案： A,
