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1、第四节 数列求和,数列求和的常用方法 (1)公式法 直接利用等差、等比数列的前n项和公式求和 一些常见的数列的前n项和 a1234n ； b122232n2 ； c2462nn(n1)； d1352n1n2； e1323n3 .,(2)倒序相加法 如果一个数列an，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的 (3)错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的 (4)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，
2、在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和,(5)分组求和法 一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减 (6)并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解 例如Sn10029929829722212 (10099)(9897)(21)5_050.,【答案】 B 2已知数列an的通项公式是an ，其前n项和Sn ，则项数n等于( ) A13 B10 C9 D6,【答案】 D 3数列(1)nn的前2 010项的和S2 010为( ) A2 010 B1 005 C2
3、 010 D1 005,【解析】 方法一：S2 01012342 0072 0082 0092 010 (1352 009)(2462 010) 1 005.,方法二：S2 0101234562 0092 010 (12)(34)(56)(2 0092 010) 1111111 005. 1 005个1 【答案】 D 4已知等比数列an中，a1a2a34，a2a3a42，则a3a4a5a6a7a8_.,【解析】 由已知得q ， 所以a3a4a5(a2a3a4)q2( )1， a6a7a8(a3a4a5)q31( )3 ， a3a4a5a6a7a81 . 【答案】,5等差数列an的前n项和为Sn
4、，且a12 009， 2，则S2 009_.,【答案】 2 009,已知数列an的前n项是321,6221,9231,12241，写出数列an的通项并求其前n项和Sn.,【自主探究】 由已知得，数列an的通项公式为 an3n2n13n12n， Sna1a2an (253n1)(2222n) n(3n1)2n12.,【方法点评】 1.数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前n项和的数列来求之 2常见类型及方法 (1)anknb，利用等差数列前n项和公式直接求解； (2)anaqn1，利用等比数列前n项和公式直接求解； (3)anbncn，数列b
5、n，cn是等比数列或等差数列，采用分组求和法求an的前n项和 【特别提醒】 应用等比数列前n项和公式时，要注意公比q的取值,1已知数列an是等比数列，bn是等差数列，且b10，数列cn满足cnanbn，它的前4项依次是1，a,2a,2，求数列cn的前n项和 【解析】 设数列an的首项是a1，公比是q，则ana1qn1；设数列bn的公差是d，则bn(n1)d.由已知，得,解得a11，q2，d2. Sn(a1b1)(a2b2)(anbn) (a1a2an)(b1b2bn) 2nn2n1.,已知数列an满足a1，a2a1，a3a2，anan1，是首项为1，公比为a的等比数列,(1)求an； (2)如
6、果a2，bn(2n1)an，求数列bn的前n项和Sn. 【思路点拨】 (1)根据题意得到表达式，再用累加法求通项； (2)利用错位相减法求和 【自主探究】 (1)由a11， 当n2时，anan1an1， ana1(a2a1)(a3a2)(anan1) 1aa2an1. 当a1时，ann；,当a1时，an ， an . (2)a2，an 2n1. bn(2n1)an(2n1)(2n1) (2n1)2n(2n1)， Snb1b2bn 2322523(2n1)2n135(2n1),令Tn2322523(2n1)2n 则2Tn22323524(2n3)2n(2n1)2n1 ，得 Tn222222322
7、n(2n1)2n1 22(22232n)(2n1)2n1 22 (2n1)2n1 22n28(2n1)2n1 6(32n)2n1， Tn(2n3)2n16， Sn(2n3)2n16 (2n3)2n1n26.,【方法点评】 1.一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法 2用乘公比错位相减法求和时，应注意 (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式 【特别提醒】 利用错位相减法求和时，转化为等比数列求和若公比是个参数(字
8、母)，则应先对参数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别求和,已知数列an的通项公式为anlog2 (nN*)，设其前n项和为Sn，bnSnSn1,2bn的前n项和为Tn， (1)求Sn； (2)求Tn. 【思路点拨】 利用对数运算法则即可求Sn，通过变形运算利用裂项相消法可求Tn.,【自主探究】 (1)方法一：anlog2 log2(n1)log2(n2)，,Snlog22log23log23log24log2(n1)log2(n2) 1log2(n2)， Sn1log2(n2)log2 ，,【方法点评】 1.利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有
9、可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等,2一般情况如下，若an是等差数列，则 此外根式在分母上时可考虑利用有理化因式相消求和 3常见的拆项公式有：,3在数列an中，an ，又bn ，求数列bn的前n项和Sn.,1(2009年重庆高考)设an是公差不为0的等差数列，a12且a1，a3，a6成等比数列，则an的前n项和Sn( ),【解析】 由题意知设等差数列公差为d，则a12，a322d，a625d.又a1，a3，a6成等比数列，a32a1a6，即(22d)22(25d)，整理得2d2d0. d0，d ，Snna1
10、 d .故选A.,【答案】 A 2(2009年江西高考)数列an的通项ann2(cos2 sin2 )其前n项和为Sn，则S30为( ) A470 B490 C495 D510,【解析】 注意到ann2cos ，且函数ycos 的最小正周期是3，因此当n是正整数时，anan1an2 n2 (n1)2(n2)23n ，其中n1,4,7，,S30(a1a2a3)(a4a5a6)(a28a29a30) (31 )(34 )(328 ) 3 10470，选A,【答案】 A 3(2009年山东高考)等比数列an的前n项和为Sn，已知对任意的nN*，点(n，Sn)均在函数ybxr(b0且b1，b，r均为常
11、数)的图象上 (1)求r的值；,(2)当b2时，记bn (nN*)，求数列bn的前n项和Tn. 【解析】 (1)由题意，Snbnr，当n2时，Sn1bn1r，所以anSnSn1bn1(b1)，由于b0且b1，所以n2时，an是以b为公比的等比数列，又a1br，a2b(b1)， b，即 b，解得r1.,(2)由(1)知，nN*，an(b1)bn12n1，所以bn,4(2009年全国)在数列an中，a11，an1 . (1)设bn ，求数列bn的通项公式； (2)求数列an的前n项和Sn. 【解析】 (1)由已知得b1a11，且 ，即 bn1bn ， 从而b2b1 ， b3b2 ， bnbn1 (
12、n2)，,1求数列an的前n项和Sn，通常要掌握以下方法： (1)若数列可判定是等差数列或等比数列，可直接由公式求和，但要注意公比q1和q1的讨论 (2)分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项重新组合，或把整个数列分成两部分，使其转化成等差或等比数列，这一求和的方法称为分组转化法 (3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法,(4)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，则数列的每一项都可按此法拆成两项之差在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法 (5)倒序相加法：如果一个数列an，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法 (6)并项求和法：对通项公式中含有(1)n，即正负相间数列求Sn时，通常是将相邻两项并为一项求和，但要注意讨论n的奇偶性 2数列求和是数列中的一个重要问题，要把握求和的常用方法，并体会转化与化归、分类讨论等数学思想,课时作业 点击进入链接,
