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1、山东省淄博实验中学2015届高三数学第一次诊断性考试试卷 理（含解析）新人教A版注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、选择题（题型注释）1设集合，则“”是“”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：，当“”，能得到“”；当“”，能得到“”，因此“”是“”的充分必要条件，故答案为C考点：1、集合的并集；2、充分条件、必要条件的判断2函数，则方程在下面哪个范围内必有实根（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：方程的根就是函
2、数的零点，由于，由零点存在定理，得函数的零点在区间在内，因此方程的根在，故答案为B考点：方程的根和函数的零点的关系3函数的图象大致是（ ） 【答案】A【解析】试题分析：当时，得或，因此函数图象与轴正半轴的交点有2个，当，因此图象在轴下方，故符合图象为A考点：函数的图象4三个数之间的大小关系是（ ）A B C D 【答案】B【解析】试题分析：由于，所以，故答案为B考点：指数函数和对数函数的图象和性质5已知，则的值是（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：，故答案为A考点：同角三角函数的基本关系6已知函数，若，则的取值范围是（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：当时，恒成立，由得
3、，整理得，由于恒成立，解得，时，由于最小值是0，若恒成立，满足，即，同时满足以上两个条件，故答案为D考点：1、一元二次不等式的应用；2、分段函数的应用7定义在上的函数满足，且时，则（ ）A1 B C D【答案】C【解析】试题分析：由于，因此函数为奇函数，故函数的周期为4，即，故答案为C考点：1、函数的奇偶性和周期性；2、对数的运算8由直线，曲线及轴所围成的图形的面积是（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：由定积分的几何意义，得围成的面积，故答案为D考点：定积分的几何意义9若函数在上可导，且满足，则（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：由于恒成立，因此在上时单调递增函数，即，
4、故答案为A考点：函数的单调性与导数的关系10已知函数，若存在实数满足其中，则的取值范围是（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：由题意知，因此，得，令，得或，由图知，令，得或，故答案为B考点：1、函数的图象；2、对数的运算性质第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题（题型注释）11设命题，函数有零点，则 .【答案】，函数没有零点【解析】试题分析：全称命题的否定，把全称量词写成存在量词，同时把结论否定；故：，函数没有零点考点：含有量词的命题的否定12设，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为 .【答案】【解析】试题分析：，解，解得；由，得，得，由于是的充分不
5、必要条件，解得，又由于，故答案为考点：1、绝对值不等式的解法；2、充分条件必要条件的应用13已知函数在上单调递增，则的取值范围 .【答案】【解析】试题分析：函数由，复合而成，由于是单调递增函数，因此是增函数，由于恒成立，当时，有最小值，故答案为考点：1、复合函数的单调性；2、恒成立的问题14已知，且，则的最小值为 【答案】3【解析】试题分析：，且，代入得则恒成立，所以在区间上单调递增，所以最小值，故答案为3考点：函数的单调性与导数的关系15若实数满足，则的取值范围是 【答案】【解析】试题分析：不等式对应的区域如图，设，则的几何意义是区域内的点与原点的斜率，由，得，即，此时的斜率由，得，即，此时
6、的斜率，则，故的答案为考点：线性规划的应用评卷人得分三、解答题（题型注释）16已知且，设命题函数在上单调递减；命题曲线与轴交于不同的两点，如果是假命题，是真命题，求的取值范围.【答案】【解析】试题分析：（1）正确理解逻辑连接词“或”、“且”，“非”的含义是关键，解题时应根据组成各个复合命题的语句中所出现的逻辑连接词进行命题结构与真假的判断，其步骤为:确定复合命题的构成形式；判断其中简单命题的真假；判断复合命题的真假；（2）解决此类问题的关键是准确地把每个条件所对应的参数的取值范围求解出来，然后转化为集合交、并、补的基本运算；（3）注意或为真，且为假说明一真一假.试题解析：解：因为函数在上是单调
7、递减，所以命题成立，则又因为曲线与轴交于不同的两点所以，解得或因为是假命题，是真命题，所以命题一真一假真假，则，所以假真，则，所以故实数的取值范围是考点：1、对数函数的性质；2、逻辑联接词的应用17已知，且.（1）求；（2）求【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）平方关系和商数关系式中的角都是同一个角，且商数关系式中先是根据平方关系由余弦求正弦，然后求正切，根据两角和正切公式求解；（2）利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角的范围确定，二是利用诱导公式进行化简时，（3）三角函数的给值求值的问题一般是正用公式将“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角
8、的范围求出相应角三角函数值，代入展开即可，注意角的范围.试题解析：解：（1）由得于是由，得又由得又，考点：1、同角三角函数的基本关系；2、三角函数的给值求值18设，解关于的不等式.【答案】当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为空集当时，不等式解集；当时，不等式的解集当时，不等式的解集【解析】试题分析：（1）三个二次间的关系，其实质是抓住二次函数的图像与横坐标的交点、二次不等式解集的端点值、二次方程的根是同一个问题.解决与之相关的问题时，可利用函数与方程的思想、化归的思想将问题转化，结合二次函数的图象来解决；（2）解含参数的一元二次不等式分类讨论的依据：一是二次项中若含有参数应讨论是小于0，
9、等于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式，二是当不等式对应的方程的根个数不确定时，讨论判别式与0的关系，三是确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集；（3）讨论时注意找临界条件.试题解析：不等式等价（1）当时，则不等式化为，解得（2）若，则方程的两根分别为2和当时，解不等式得当时，解不等式得空集当时，解不等式得当时，解不等式得综上所述，当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为空集当时，不等式解集当时，不等式的解集当时，不等式的解集考点：含参数的一元二次不等式的解法19为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关
10、，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，已知该单位每月的处理量最少400吨，最多600吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为：且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.（1）该单位每月处理量为多少时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？【答案】（1）400吨；（2）不获利，国家至少每月补贴40000元【解析】试题分析：（1）利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式
11、，然后利用基本不等式求解；（2）在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到时，可利用函数的单调性求解；（3）基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.（4）掌握二次函数在闭区间上的最值，注意区间和对称轴的关系试题解析：解：由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：，当且仅当，即时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元设该单位每月获利为则因为，所以当时，有最大值故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损考点：1、利用基本
12、不等式求最值；2、二次函数在闭区间上的最值20已知函数为奇函数.（1）若，求函数的解析式；（2）当时，不等式在上恒成立，求实数的最小值；（3）当时，求证：函数在上至多一个零点.【答案】（1）；（2）；（3）证明略【解析】试题分析：（1）已知函数的奇偶性求参数的值一般思路：利用函数的奇偶性的定义转化为，从而建立方程，使问题获解，但是在解决选择题，填空题时，利用定义去做相对麻烦，因此为使问题解决更快，可采用特值法；（2）对于恒成立的问题，常用到两个结论：（1），（2）；（3）对于给出的具体函数的解析式的函数，证明或判断在某区间上的单调性有两种方法：一是利用函数单调性的定义：作差、变形，由的符号，在
13、确定符号是变形是关键，掌握配方，提公因式的方法，确定结论；二是利用函数的导数求解；（4）单调函数最多只有一个零点.试题解析：解：函数为奇函数，即又，函数解析式当时，函数在都是单调递增，在单调递增，所以当时，不等式在上恒成立，实数的最小值为证明：，设任取任意实数，即，又，即在单调递减又，结合函数图象知函数在上至多有一个零点考点：1、利用函数的奇偶性求参数；2、恒成立的问题；3、利用定义证明函数的单调性21已知函数.（1）若在区间上不是单调函数，求实数的范围；（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，设，对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角
14、三角形，而且此三角形斜边中点在轴上？请说明利用.【答案】（1）;（2）;（3）对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在轴上【解析】试题分析：（1）若可导函数在指定的区间上单调递增（减），求参数问题，可转化为恒成立，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到，若不是单调函数，则不恒成立；（2）含参数不等式在某区间内恒成立的问题通常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是分离参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单，常用到两个结论：（1），（2）.（3）与函数有关的探索问题：第一步：假设符合条件的结论存在；第二步：从假设出发，利用题中关系求解；第三步，确定符合要求的结论存在或不存在；第四步：给出明确结果；第五步：反思回顾，查看关键点.试题
