《临湘市第一中学2014高考数学 不等式恒成立问题的几种求解策略练习》由会员分享，可在线阅读，更多相关《临湘市第一中学2014高考数学 不等式恒成立问题的几种求解策略练习（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、不等式恒成立问题的几种求解策略不等式恒成立问题，把不等式、函数、数列、几何等有机地结合起来，覆盖知识点多，方法多种多样，是近几年数学高考、竞赛中考查的热点。但同学们对解决此类问题往往感到无从下手，得分率偏低。为此就这类问题的解题策略作一探讨共同学们参考。一、数形结合思想【例1】已知a0，函数f(x)=ax-bx2.(1)当b0时，若对任意xR,都有f(x)1,证明：a2；(2)当b1时，证明：对任意x0,1,|f(x)|1的充要条件是b-1a2; （3）当0 ba,求a的取值范围.三、取特殊值【例5】已知函数f(x)=e-e, f(x) ax对x0恒成立,求a的取值范围.四、变元转换求解【例6
2、】对|m|2的一切实数m，求使不等式2x-1m(x2-1)都成立的x的取值范围。1. 设，其中a为实数，n为任意给定的自然数，且，如果当时有意义，求a的取值范围。2. 设函数是定义在上的增函数，如果不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围。3. 对于所有实数x，不等式恒成立，求a的取值范围。 不等式恒成立问题的几种求解策略（老师用）不等式恒成立问题，把不等式、函数、数列、几何等有机地结合起来，覆盖知识点多，方法多种多样，是近几年数学高考、竞赛中考查的热点。但同学们对解决此类问题往往感到无从下手，得分率偏低。为此就这类问题的解题策略作一探讨共同学们参考。一、数形结合思想【例1】已知a0，函数f(x
3、)=ax-bx2.(1)当b0时，若对任意xR,都有f(x)1,证明：a2；(2)当b1时，证明：对任意x0,1,|f(x)|1的充要条件是b-1a2; （3）当0 b1时,讨论:对任意x0,1,|f(x)|1的充要条件. 证明:（1）由已知ax-bx21,得bx2-ax+10.要使bx2-ax+10对任意xR恒成立，可知，只需=a2-4b0,a1时，2bb+1，（II）无解。又由b1，有b,2b2,由(1)得b-1a2|f(x)|1b-1a2b(3)因为a0,00,00，即在（-1，1）上是增函数。故t的取值范围是.【例3】使不等式对一切xR恒成立的负数a的取值范围是_解 原不等式可化为设t
4、=cosx，则t-1,1,二次函数g(t)=t2+(1-a)t图象的对称轴为aa,求a的取值范围.解(1)略(2)由(1)知而1当n=2k-1时，式为即令要使式对一切kN*都成立，只需2. 当n=2k时，式为即令,要使式对一切kN*都成立，只需综上，式对任意nN*都成立，有即a0的取值范围【评注】（1）对于不等式恒成立条件下求参数取值范围问题，常常把所求参数从不等式的主元中分离出来，利用函数的值域或最值求得问题的解。如例2把参数a从主元x中分离出来；例3把参数a从主元n中分离出来。（2）此题运用了结论：f(x)a恒成立三、取特殊值【例5】已知函数f(x)=e-e, f(x) ax对x0恒成立,
5、求a的取值范围.解:令g(x)=f(x)-ax g(x)= e+e-a(1)若a2则x0时g(x)= e+e-a2-a0 g(x)在x0时为增函数,g(x)g(0)=0 即f(x) ax(2)若a2方程g(x)=0的正根为ln此时,若x(0,x)则g(x)0 , g(x)在该区间为减函数. x(0,x)时g(x)g(0)=0 即f(x)m(x2-1)都成立的x的取值范围。解 原不等式等价于不等式(x2-1)m -(2x-1)0.设f(m)=(x2-1)m-(2x-1),则原问题转化成求一次函数f(m)或常函数在-2，2内恒为负值时，x取值范围。（1）当x2-1=0时，x=1.当x=1时，f(m
6、)0恒成立，当x=-1时，f(m)0不成立。（2）当x2-10时，由一次函数单调性知综上，所求的【评注】本题的关键是变元，构造m的一次函数或常函数，利用一次函数单调性顺利求解，从而避免了解关于x的不等式mx2-2x+10的大讨论。1. 设，其中a为实数，n为任意给定的自然数，且，如果当时有意义，求a的取值范围。解：本题即为对于，有恒成立。这里有三种元素交织在一起，结构复杂，难以下手，若考虑到求a的范围，可先将a分离出来，得，对于恒成立。构造函数，则问题转化为求函数在上的值域。由于函数在上是单调增函数，则在上为单调增函数。于是有的最大值为：，从而可得。2. 设函数是定义在上的增函数，如果不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围。分析：本题可利用函数的单调性把原不等式问题转化为对于任意恒成立，从而转化为二次函数区间最值求解。解：是增函数对于任意恒成立对于任意恒成立对于任意恒成立，令，所以原问题，又即 易求得。3. 对于所有实数x，不等式恒成立，求a的取值范围。 解：因为的值随着参数a的变化而变化，若设，则上述问题实质是“当t为何值时，不等式恒成立”。这是我们较为熟悉的二次函数问题，它等价于求解关于t的不等式组：。 解得，即有，易得。
