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1、7.2 空间几何体的表面积与体积,一、棱柱、棱锥、棱台和球的表面积 1.设直棱柱高为h，底面多边形的周长为c，则直棱柱侧面面积计算公式:S直棱柱侧= .即直棱柱的侧面积等于它的 . 2.设正n棱锥的底面边长为a，底面周长为c，斜高为h，则正n棱锥的侧面积的计算公式:S正棱锥侧= ,即正棱锥的侧面积等于它的 .,ch,底面周长和高的乘积,nah= ch,底面的周长和斜高乘积的一半,考点分析,3.设棱台下底面边长为a，周长为c，上底面边长为a，周长为c，斜高为h，则正n棱台的侧面积公式:S正棱台侧= . 4.棱柱、棱锥、棱台的表面积或全面积等于 . 5.半径为R的球的表面积公式:S球= ，即球面面
2、积等于它的 .,大圆面积的四倍,n(a+a)h= (c+c)h,侧面积与底面积的和,4R2,6.柱、锥、台的侧面积公式的内在联系. 二、棱柱、棱锥、棱台和球的体积,1.柱体(棱柱、圆柱)的体积等于它的 ,即V柱体= .底面半径是r，高是h的圆柱体的体积的计算公式是V圆柱= . 2.如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积是S，高是h，那么它的体积是V锥体= . 如果圆锥的底面半径是r，高是h，则它的体积V圆锥= . 3.如果一个台体（棱台、圆台）的上、下底面的面积分别是S,S，高是h，那么它的体积V台体= h(S+ +S). 如果圆台的上、下底面的半径分别是r,r，高是h，则它的体积是V圆台= h(
3、r2+rr+r2).,底面积S和高h的乘积,Sh,r2h,Sh,r2h,4.如果球的半径为R，则它的体积V球= R3. 5.柱、锥、台的体积公式的内在联系.,已知一个正三棱台的两底面边长分别为30cm和20cm，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高.,【分析】求棱台的侧面积要注意利用公式及正棱台中的特征直角梯形，转化为平面问题来求解所需几何元素.,考点一 多面体的表面积问题,题型分析,【解析】如图所示，正三棱台ABCA1B1C1中，O,O1为两底面中心，D，D1为BC和B1C1的中点，DD1为棱台的斜高. 设A1B1=20，AB=30，则OD=5 ,O1D1= ， 由S侧=S上+S下，得
4、（20+30）3DD1= (202+302), DD1= . 在直角梯形O1ODD1中, O1O= 棱台的高为 cm.,【评析】求解有关多面体表面积的问题，关键是找到其特征几何图形，如圆柱中的矩形，棱台中的直角梯形，棱锥中的直角三角形，它们是联系高与斜高、边长等几何元素的桥梁，从而架起求侧面积公式中的未知量与条件中已知几何元素间的联系.,对应演练,已知正三棱锥的侧棱长为10cm，侧面积为144cm2，求棱锥的底面边长和高.,设斜高为xcm， 则x =1443， x2=36或64. x=6或8（cm）. 底面边长为 2 =16或12（cm）.,OC1= 16= （cm）. OC2= 12=4 （
5、cm）. 在RtSOC中, SO2= 答:棱锥的底面边长为16cm,高为 cm或底面边长为12cm,高为2 cm.,如图7-2-3,在ABC中，若AC=3，BC=4，AB=5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积.,【分析】首先要弄清该旋转体是由哪些基本的几何体组成的，再通过轴截面分析和解决问题.,考点二 旋转体的表面积,【解析】如图所示，所得旋转体是两个底面重合的圆锥，高的和为AB=5.底面半径等于CO= ，所以所得旋转体的表面积为S=OC（AC+BC）= (3+4)= ； 其体积为V= OC2AO+ OC2BO= OC2AB= .,【评析】解决旋转体的表面积问
6、题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助于平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可.,对应演练,如图所示，在直径AB=4的半圆O内作一个内接直角三角形ABC，使BAC=30,将圆中阴影部分，以AB为旋转轴旋转180形成一个几何体，求该几何体的表面积.,AB=4,R=2, S球=4R2=16, 设DC=x,则AC=2x,BC= . 在RtABC中,4x2+ =16,x= . S锥侧上=rl= 2 =6, S锥侧下=rl= 2=2 . S表= （S球+S锥侧上+S锥侧下）=(11+ ).,如图所示，长方体ABCD-ABCD中，用截面截下一个棱锥C-ADD，求棱锥C-ADD的体积与剩余部
7、分的体积之比.,【分析】选择适当的量，分别表示出两个几何体的体积.,考点三 多面体的体积,【解析】已知长方体可以看成直四棱柱ADDA-BCCB. 设它的底面ADDA面积为S，高为h，则它的体积为V=Sh. 而棱锥C-ADD的底面面积为 S，高是h, 因此，棱锥C-ADD的体积 VC-ADD = Sh= Sh. 余下的体积是Sh- Sh= Sh. 所以棱锥C-ADD的体积与剩余部分的体积之比为1:5.,【评析】求几何体的体积问题，可以多角度、多方位地思考，特别是对几何体的“割”与“补”，是在求几何体体积时常用的思想方法.在平面几何中对不规则图形面积的求解也是该思想的具体应用.,A. B. C.
8、D.,对应演练,如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE，BCF均为正三角形，EFAB，EF=2，则该多面体的体积为 ( ),A（如图，分别过A，B作EF的垂线AG，BH,垂足分别为G，H,连结HC，GD，则ADGBHC为直棱柱.过G作GPAD于P，则AP=DP= ，在RtAGE中，EG= ，AE=1，,AG= ,在RtAPG中，GP= . SAGD = ,VAGDBHC= ，VEAGD=VFBHC = SAGD EG= ， V=VAGDBHC+2VEAGD= .故应选A.）,如图所示,半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋转一周得到一个几何体,求该
9、几何体的体积(其中BAC=30).,【分析】先分析阴影部分旋转后形成几何体的形状，再求表面积.,考点四 旋转体的体积,【解析】如图所示，过C作CO1AB于O1， 在半圆中可得BCA=90,BAC=30,AB=2R, AC= R,BC=R,CO1= R,又V球= R3, V圆锥 = AO1 = R2AO1， V圆锥 = BO1 = BO1R2， V几何体=V球-(V圆锥 +V圆锥 ) = R3- R3= R3.,【评析】解决这类题的关键是弄清楚旋转后所形成的图形的形状，再将图形进行合理的分割，然后利用有关公式进行计算.,对应演练,已知一个组合体的三视图如图7-2-10所示，请根据具体数据求几何体
10、的体积(单位:cm).,由三视图可知此组合体结构为：上部是一个圆锥，中部是一个圆柱，下部又是一个圆柱.由条件中的尺寸可知: V圆锥= Sh= 222= (cm3); V圆柱中=Sh=2210=40(cm3); V圆柱下=Sh=421=16(cm3). 所以此组合体体积V=V圆锥+V圆柱中+V圆柱下 = +40+16= (cm3).,（湛江市11年高三调研）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面为直角三角形，ACB=90,AC=6,BC=CC1= ,P是BC1上一动点，则CP+PA1的最小值为 .,【分析】将所求最值问题转化为熟悉的平面上的最值问题，易解决.,考点五 曲面最值,【解析】由直三
11、棱柱的性质得A1B=2 ,又A1C1B=90,A1C1=6,BC1=2, 将A1C1B与BC1C沿BC1折放在同一平面内，则A1C为所求.,【评析】将A1PC1与BC1C放在同一平面内， 找到A1C为所求最小值.,如图所示，长方体ABCDA1B1C1D1 中，AB=a，BC=b，BB1=c，并且abc0.求沿着长方体的表面自A到C1的最短线路的长.,对应演练,将长方体相邻两个面展开有下列三种可能，如图所示.三个图形甲、乙、丙中AC1的长分别为：,abc,abacbc0. 故最短线路的长为 .,1.对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与平面几何知
12、识来解决，这种题目难度不大. 2.要注意将空间问题转化为平面问题. 3.当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用“割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体（柱、锥、台），或化离散为集中，给解题提供便利.,高考专家助教,4.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线等于球的直径.球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”“接点”作出截面图.,
