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1、第三章三角函数、解三角形第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数一、必记3个知识点1角的概念(1)分类(2)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ2弧度的定义和公式(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式：弧度与角度的换算：3602弧度；180弧度；弧长公式：l|r；扇形面积公式：S扇形lr和|r2.3任意角的三角函数(1)定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin y，cos x，tan (x0)(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起
2、点都是原点，正切线的起点都是(1,0)如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角的正弦线，余弦线和正切线二、必明3个易误区1易混概念：第一象限角、锐角、小于90的角是概念不同的三类角第一类是象限角，第二、第三类是区间角2利用180 rad进行互化时，易出现度量单位的混用3三角函数的定义中，当P(x，y)是单位圆上的点时有sin y，cos x，tan ，但若不是单位圆时，如圆的半径为r，则sin ，cos ，tan .三、必会2个方法1三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦；2对于利用三角函数定义解题的题目，如果含有参数，一定要考虑运用分类讨论，而在求解简单的三角不等
3、式时，可利用单位圆及三角函数线，体现了数形结合的思想考点一角的集合表示及象限角的判定1.给出下列四个命题：是第二象限角；是第三象限角；400是第四象限角；315是第一象限角其中正确的命题有()A1个B2个 C3个 D4个解析：选C是第三象限角，故错误；，从而是第三象限角，故正确；40036040，从而正确；31536045，从而正确2设集合M，N，那么()AMN BMN CNM DMN解析：选B法一：由于M，45，45，135，225，N，45，0，45，90，135，180，225，显然有MN，故选B.法二：由于M中，x18045k904545(2k1)，2k1是奇数；而N中，x18045k
4、4545(k1)45，k1是整数，因此必有MN，故选B.3终边在直线yx上的角的集合为_解析：终边在直线yx上的角的集合为|k，kZ答案：|k，kZ4在7200范围内找出所有与45终边相同的角为_解析：所有与45有相同终边的角可表示为：45k360(kZ)，则令72045k3600，得765k36045，解得k0时，rk，sin ，10sin 330；当k0时，rk，sin ，10sin 330.综上，10sin 0.考点三扇形的弧长及面积公式 典例已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角 解：设圆心角是，半径是r，则(舍)，故扇形圆心角为. 类题通法弧度制应用的关注点(1)弧度制下l|r
5、，Slr，此时为弧度在角度制下，弧长l，扇形面积S，此时n为角度，它们之间有着必然的联系(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形针对训练：已知扇形的圆心角是120，弦长AB12 cm，求弧长l.解：设扇形的半径为r cm，如图由sin 60，得r4 cm，l|r4(cm)课后作业试一试1若k18045(kZ)，则在(A)A第一或第三象限B第一或第二象限C第二或第四象限 D第三或第四象限2已知角的终边经过点(，1)，则sin _.答案：练一练：若sin 0，则是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角解析：选C由sin 0，知在第一或第三象限，因此在第三
6、象限做一做1如图所示，在直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆O于点P，若AOP，则点P的坐标是()A(cos ，sin )B(cos ，sin )C(sin ，cos ) D(sin ，cos )解析：选A由三角函数的定义知P(cos ，sin )，选A.2已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是()A1或4 B1C4 D8解析：选A设扇形的半径和弧长分别为r，l，则易得解得或故扇形的圆心角的弧度数是4或1.3已知角的终边经过点(3a9，a2)，且cos 0，sin 0，则实数a的取值范围是()A(2,3 B(2,3)C2,3) D2,3解析：选Acos 0，sin
7、 0，角的终边落在第二象限或y轴的正半轴上2a3.故选A.4在与2 010终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为_解析：2 01012，与2 010终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为.答案：5(2014辽源模拟)若三角形的两个内角，满足sin cos 0，则此三角形为_解析：sin cos 0，且，是三角形的两个内角sin 0，cos 0，为钝角故此三角形为钝角三角形答案：钝角三角形6已知角的终边过点P(3cos ，4cos )，其中，求的三角函数值解：，1cos 0，r5cos ，故sin ，cos ，tan .7已知cos tan 0，那么角是()A第一或第二象限角 B第二或第三象限
8、角 C第三或第四象限角 D第一或第四象限角解析：选C易知sin 0；cos(2 200)cos(40)cos 400；tan(10)tan(310)0，tan0.11在直角坐标系中，O是原点，A(，1)，将点A绕O逆时针旋转90到B点，则B点坐标为_解析：依题意知OAOB2，AOx30，BOx120，设点B坐标为(x，y)，所以x2cos 1201，y2sin 120，即B(1，)答案：(1，)12.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cos _.解析：因为A点纵坐标yA，且A点在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以A点横坐标xA，由三角函数的定义可得cos .答案：13一个扇形OAB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.解：设圆的半径为r cm，弧长为l cm，则解得圆心角2.如图，过O作OHAB于H.则AOH1弧度AH1sin 1sin 1(cm)，AB2sin 1(cm)
