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1、第10讲关于计算过程的再优化方法精要中学数学的运算包括数的计算，式的恒等变形，方程和不等式同解变形，初等函数的运算和求值，各种几何量的测量与计算，求数列和函数、(定积分)、概率、统计的初步计算等高中数学新课程标准所要求的数学能力中运算求解能力更为基本，运算求解能力指的是要求学生会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算运算求解能力是思维能力和运算技能的结合运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形各几何量的计算求解等数学运算，都是依据相应的概念、法则、性质、公式等基础知识进
2、行的，尤其是概念，它是思维的形式，只有概念明确、理解透彻，才能作出正确的判断及合乎逻辑的推理计算法则是计算方法的程序化和规则化，对法则的理解是计算技能形成的前提高考命题对运算求解能力的考查主要是针对算法、推理及以代数运算为主的考查因此在高中数学中，对于运算求解能力的培养至关重要提高数学解题能力，首先是提高数学的运算求解能力，可以从以下几个方面入手：1培养良好的审题习惯2培养认真计算的习惯3培养一些常用结论的记忆的能力，记住一些常用的结论，比如数列求和的公式122232n2n(n1)(2n1)，三角函数中的辅助角公式asin xbcos xsin(x)等等4加强运算练习是提高基本运算技能的有效途
3、径，任何能力都是有计划、有目的地训练出来的，提高基本运算技能也必须加强练习、严格训练5提高运算基本技能，必须要提高学生在运算中的推理能力，这就首先要清楚运算的定理及相关理论6增强自信是解题的关键，自信才能自强，在数学解题中，自信心是相当重要的题型一化繁为简，优化计算过程例1过点(，0)引直线l与曲线y相交于A，B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于()A. B C D破题切入点本题考查直线与圆的位置关系以及三角形的面积公式，先设出直线方程xmy，表示出AOB的面积，然后探讨面积最大时m的取值，得到直线的斜率答案B解析由y得，x2y21(y0)，设直线方程为xmy，m0
4、)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线的方程为()Ay29xBy26xCy23xDy2x破题切入点由抛物线的定义解题答案C解析如图，分别过A，B作AA1l于A1，BB1l于B1，由抛物线的定义知，|AF|AA1|，|BF|BB1|，|BC|2|BF|，|BC|2|BB1|，BCB130，A1AF60.连接A1F，则A1AF为等边三角形，过F作FF1AA1于F1，则F1为AA1的中点，设l交x轴于N，则|NF|A1F1|AA1|AF|，即p，抛物线方程为y23x，故选C.题型三代数运算中加强“形”的应用，优化计算过程例3设b0，数列a
5、n满足a1b，an(n2)(1)求数列an的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n，an1.破题切入点结合题目中an的表达式可知，需要构造an新的形式，得到新的数列，根据新数列的形式求和；不等式的证明借用放缩完成(1)解由a1b0，知an0，.令An，A1，当n2时，AnAn1A1.当b2时，An，当b2时，An.an(2)证明当b2时，(2n1bn1)(2n1bn1)(bn12bn22n1)2n1bn12n2bn222nb2n2b2n12n1bn12nbn()2nbn(222)，2n2nbnn2n1bn，an1.当b2时，an21.综上所述an1.总结提高数学学习最重要的是创造能力，而解题则
6、是培养学生创造能力的最好手段通过解题，可以提高运算求解能力，锻炼应付各种复杂情况的机智，以及掌握克服各种困难所需要的若干常规方法和技巧因此平时练习中应注重学生运算求解能力的训练，运算求解能力提高了，解题水平就可以提高1已知函数f(x)的定义域是一切实数，则m的取值范围是()A0m4 B0m1Cm4 D0m4答案D解析根据题意mx2mx10(xR)恒成立，当m0时，满足不等式；当m0时，须满足解得0m4，综上0m4.2已知函数f(x)x2，则f(3)的值为()A8 B9 C11 D10答案C解析f(x)(x)22，f(3)9211.3定义运算：(ab)xax2bx2，若关于x的不等式(ab)x0
7、的解集为x|1x2，则关于x的不等式(ba)x0的解集为()A(1,2)B(，1)(2，)C.D.(1，)答案D解析1,2是方程ax2bx20的两实根，12，12，解得由(31)x3x2x20，解得x1.4已知函数f(x)是R上的单调增函数且为奇函数，数列an是等差数列，a30，则f(a1)f(a3)f(a5)的值()A恒为正数 B恒为负数C恒为0 D可以为正数也可以为负数答案A解析因为函数f(x)是R上的奇函数，所以f(0)0.又f(x)是R上的增函数，所以当x0，时有f(x)f(0)0，当x0时有f(x)0，所以有f(a3)0.因为数列an是等差数列，所以a30a1a50a1a5f(a1)
8、f(a5)又f(a5)f(a5)，所以f(a1)f(a5)0，即有f(a1)f(a3)f(a5)f(a1)f(a5)f(a3)0.5在ABC中，若，则()AAC BABCBC D以上都不正确答案C解析，sin Bcos Ccos Bsin C0.sin(BC)0.又BC，BC0，即BC.6已知直线l与抛物线y24x交于A、B两点，若P(2,2)为AB的中点，则直线AB的方程为_答案xy0解析点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线y24x上，yy4x24x1，即.因为P(2,2)为AB的中点，所以y2y14，所以直线AB的斜率k1，所以直线AB的方程为xy0.7抛物线yx2在x1处的切线与
9、两坐标轴围成三角形区域为D(包含三角形内部与边界)若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x2y的取值范围是_答案2，解析易知切线方程为：y2x1，所以与两坐标轴围成的三角形区域三个点为A(0,0)，B(，0)，C(0，1)易知过C点时有最小值2，过B点时有最大值.8在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A，bsin(C)csin(B)a.(1)求证：BC；(2)若a，求ABC的面积(1)证明由bsin(C)csin(B)a，应用正弦定理，得sin Bsin(C)sin Csin(B)sin A，sin B(sin Ccos C)sin C(sin Bcos B)，整理得sin
10、Bcos Ccos Bsin C1，即sin(BC)1.由于0B，Cf(0)对所有的均成立？若存在，求出所有适合条件的实数m；若不存在，请说明理由解f(x)在R上为奇函数，又在0，)上是增函数，f(x)在R上为增函数，且f(0)0.由题设条件可得，f(cos 23)f(4m2mcos )0.又由f(x)为奇函数，可得f(cos 23)f(2mcos 4m)f(x)在R上为增函数，cos 232mcos 4m，即cos2mcos 2m20.令cos t，0，0t1.于是问题转化为对一切0t1，不等式t2mt2m20恒成立t22m(t2)，即m恒成立又(t2)442，m42，存在实数m满足题设的条
11、件，即m42.10.已知双曲线1(ba0)，O为坐标原点，离心率e2，点M(，)在双曲线上(1)求双曲线方程；(2)若直线l与双曲线交于P、Q两点，且0，求的值解(1)因为e2，c2a，b2c2a23a2，双曲线方程为1，即3x2y23a2，点M(，)在双曲线上，1533a2，a24，所以所求双曲线方程为1.(2)设直线OP的方程为ykx(k0)，联立1得|OP|2x2y2.0，直线OQ的方程为yx，同理可得|OQ|2，.11已知实数x、y满足方程x2y24x10.求：(1)的最大值和最小值；(2)yx的最大值和最小值；(3)求x2y2的最大值和最小值解(1)方程x2y24x10表示以点(2,0)为圆心，以为半径的圆设k，即ykx，则圆心(2,0)到直线ykx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值由，解得k23，kmax，kmin.(2)设yxb，则yxb，转化为求直线yxb的截距的最值，圆心到直线的距离，解得2b2，所以yx的最大值和最小值分别为2和2.(3)x2y2是圆上点与原点的距离的平方，故连接OC，与圆交于B点，并延长交圆于C，则(x2y2)max|OC|2(2)274，(x2y2)min|OB|2(2)274.12已知f(x)xln
