《高中数学《函数的表示法》同步练习2 北师大版必修1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学《函数的表示法》同步练习2 北师大版必修1（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、函数的表示方法函数的表示方法 一、选择题 1.在股票买卖过程中,经常用到两种曲线,一种是即时价格曲线 yf(x)(实线表示),另一种 是平均价格曲线 yg(x)(虚线表示)如 f(2)3 是指开始买卖后两个小时的即时价格为 3 元;g(2)3 表示两个小时内的平均价格为 3 元,下图给出的四个图象中,其中可能正确 的是( ) 解析:解答该题要注意平均变化率是一个累积平均效应,因此可以得到正确选项为 C. 答案:C 2.定义运算 b.ab, b,aa, =b a: 设 F(x)f(x)g(x),若 f(x)sinx,g(x)cosx,xR, 则 F(x)的值域为( ) A.-1,1 B. 1 ,
2、 2 2 C. 2 2 , 1 D. 2 2 , 1 解析:由已知得 ,cossin,cos ,cossin,sin cossin)( xxx xxx xxxF 即 F(x) Zk kkxx kkxx ,2 4 5 ,2 4 ,cos ,2 4 ,2 4 3 ,sin F(x)sinx, 当2 4 ,2 4 3 kkx,kZ 时,F(x)-1, 2 2 ; F(x)cosx,当)2 4 5 ,2 4 ( kkx,kZ 时,F(x)(-1, 2 2 ),故选 C. 答案:C 3.已知 , 0, 1) 1( , 0,cos )( xxf xx xf 则) 3 4 () 3 4 ( ff的值为( )
3、 A.-2 B.-1 C.1 D.2 解析: , 0, 1) 1( , 0,cos )( xxf xx xf 11) 1 3 1 (1) 1 3 4 () 3 4 (fff 2) 3 2 ( f , 2 3 2 2 1 2) 3 2 cos( 2 1 ) 3 4 cos() 3 4 ( f, 1) 3 4 () 3 4 ( ff. 故选 C. 答案:C 4.函数 f(x+1)为偶函数,且 x1 时,f(x)x2+1,则 x1 时,f(x)的解析式为( ) A.f(x)x2-4x+4 B.f(x)x2-4x+5 C.f(x)x2-4x-5 D.f(x)x2+4x+5 解析:因为 f(x+1)为偶
4、函数, 所以 f(-x+1)f(x+1),即 f(x)f(2-x). 当 x1 时,2-x1,此时,f(2-x)(2-x)2+1,即 f(x)x2-4x+5. 答案:B 5.函数) 1( | )(aa x x xf x 的图象的大致形状是( ) 解析:该函数为一个分段函数,即为 , 0, , 0, ) 1( | )( xa xa aa x x xf x x x 当 x0 时函数 f(x)ax的图象单调递增;当 x0 时,函数 f(x)-ax的图象单调递减.故选 B. 答案:B 6.如图,设点 A 是单位圆上的一定点,动点 P 从点 A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周,点 P 所旋转过的的长为
5、l,弦 AP 的长为 d,则函数 df(l)的图象大致是( ) 解析:函数在0,上的解析式为 2 sin2 2 sin4cos22cos11211 222 ll lld. 在,2上的解析式为 2 sin2)2cos(22 l ld, 故函数 df(l)的解析式为 2 sin2 l d ,l0,2. 答案:C 二、填空题 7.设函数 , 0, , 01),sin( )( 1 2 xe xx xf x 若 f(1)+f(a)2,则 a 的所有可能的值是 _. 解析:由已知可得,当 a0 时,有 e0+ea-11+ea-12,ea-11.a-10.a1.当- 1a0 时,有 1+sin(a2)2,s
6、in(a2)1. )( 2 1 2 2 Zkka. 又-1a0,0a21, 当 k0 时,有 2 1 2 a, 2 2 a. 综上可知,a1 或 2 2 . 答案:1 或 2 2 8.用一根长为 12m 的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架(不计损耗),要使这个窗户通 过的阳光最充足,则框架的长与宽应分别为_. 解析:由题意可知,即是求窗户面积最大时的长与宽,设长为 xm,则宽为(x 2 1 3)m, ),60(3 2 1 ) 2 1 3( 2 xxxxxS 解得当 x3 时, 2 9 max S. 长为 3m,宽为 1.5m. 答案:3m,1.5m 9.某时钟的秒针端点 A 到中心点 O
7、的距离为 5cm,秒针均匀地绕点 O 旋转,当时间 t0 时, 点 A 与钟面上标 12 的点 B 重合.将 A、B 两点间的距离 d(cm)表示成 t(s)的函数,则 d_,其中 t0,60. 解析:由题意,得当时间经过 t(s)时,秒针转过的角度的绝对值是 3060 2t t 弧度,因此当 t(0,30)时, 30 t AOB ,由余弦定理,得 30 cos55255 222 t d 60 sin100) 30 cos1 (50 2 tt , 60 sin10 t d ;当 t(30,60)时,在AOB 中, 30 2 t AOB ,由余弦定理,得 60 sin100) 30 cos1 (
8、50) 30 2cos(55255 2222 ttt d , 60 sin10 t d ,且 当 t0 或 30 或 60 时,相应的 d(cm)与 t(s)间的关系仍满足 60 sin10 t d . 综上所述, 60 sin10 t d ,其中 t0,60. 答案: 60 sin10 t 三、解答题 10.已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 ff(x)-x2+xf(x)-x2+x. (1)若 f(2)3,求 f(1);又若 f(0)a,求 f(a); (2)设有且仅有一个实数 x0,使得 f(x0)x0,求函数 f(x)的解析表达式. 解:(1)因为对任意 xR, 有 ff(x)-x2
9、+xf(x)-x2+x, 所以 ff(2)-22+2f(2)-22+2. 又由 f(2)3,得 f(3-22+2)3-22+2,即 f(1)1. 若 f(0)a,则 f(a-02+0)a-02+0,即 f(a)a (2)因为对任意 xR,有 ff(x)-x2+xf(x)-x2+x, 又因为有且只有一个实数 x0,使得 f(x0)x0, 所以对任意 xR,有 f(x)-x2+xx0. 在上式中令 xx0,有 f(x0)-x02+x0x0, 又因为 f(x0)x0,所以 x0-x020. 故 x00 或 x01. 若 x00,则 f(x)-x2+x0,即 f(x)x2-x. 但方程 x2-xx 有
10、两个不同实根,与题设条件矛盾, 故 x00. 若 x01,则有 f(x)-x2+x1,即 f(x)x2-x+1. 易验证该函数满足题设条件. 综上,所求函数为 f(x)x2-x+1(xR). 11.对定义域分别是 Df、Dg的函数 yf(x)、yg(x),规定:函数 h(x) ),( ),( ),()( xg xf xgxf . , , gf gf gf DxDx DxDx DxDx 且 且 且 . (1)若函数 1 1 )( x xf,g(x)x2,写出函数 h(x)的解析式; (2)求(1)中函数 h(x)的值域; (3)若 g(x)f(x+),其中 是常数,且 0,请设计一个定义域为 R
11、 的函数 yf(x)及一个 的值,使得 h(x)cos4x,并予以证明. 解:(1) . 1 , 1 ), 1 () 1 ,(, 1 )( 2 x x x x xh U (2)当 x1 时,2 1 1 1 1 )( 2 x x x x xh, 若 x1,则 h(x)4,当 x2 时等号成立; 若 x1,则 h(x)0,当 x0 时等号成立. 函数 h(x)的值域是(-,014,+). (3)解法一:令 f(x)sin2x+cos2x, 4 , 则) 4 (2cos) 4 (2sin)()( xxxfxgcos2x-sin2x, 于是 h(x)f(x)f(x+) (sin2x+cos2x)(co
12、s2x-sin2x)cos4x. 解法二:令xxf2sin21)(, 2 , 则xxxfxg2sin21) 2 (2sin21)()( , 于是 h(x)f(x)f(x+)(x2sin21)(x2sin21) 1-2sin22xcos4x. 12.设函数 f(x)|x2-4x-5|. (1)在区间-2,6上画出函数 f(x)的图象; (2)设集合 Ax|f(x)5,B(-,-20,46,+).试判断集合 A 和 B 之间的 关系,并给出证明; (3)当 k2 时,求证:在区间-1,5上,ykx+3k 的图象位于函数 f(x)图象的上方. 解:(1) (2)BA.证明如下:方程 f(x)5 的解
13、分别是142,0,4 和142,由于 f(x)在(-,- 1和2,5上单调递减,在-1,2和5,+)上单调递增,因此,A(-,142) 0,4142,+), 由于1426,142-2, BA. (3)证明:当 x-1,5时, f(x)-x2+4x+5, g(x)k(x+3)-(-x2+4x+5) x2+(k-4)x+(3k-5) 4 3620 ) 2 4 ( 2 2 kkk x. k2, 1 2 4 k . 又-1x5, 当1 2 4 1 k ,即 2k6 时, 取 2 4k x ,64)10( 4 1 4 3620 )( 2 2 min k kk xg. 16(k-10)264, (k-10)2-640,则 g(x)min0. 当1 2 4 k ,即 k6 时,取 x-1, g(x) min2k0. 由可知, 当 k2 时,g(x)0,x-1,5, 因此,在区间-1,5上,yk(x+3)的图象位于函数 f(x)图象的上方.
