《高中数学《函数》同步练习4 新人教b版必修1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学《函数》同步练习4 新人教b版必修1（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、函数1已知在实数域R上可导的函数对任意实数都有若存在实数，使，求证：（1）；（2）上是单调函数证明：（1）又,（2）即在R上是单调递增函数.2已知抛物线C的方程为为焦点，直线与C交于A、B两点，P为AB的中点，直线过P、F点。（1）求直线的斜率关于的解析式，并指出定义域；（2）求函数的反函数；（3）求与的夹角的取值范围。（4）解不等式。解：（1） （2）（3）（4），原不等式为 当时，；当时，显然，时，；当时，。3已知二次函数有最大值且最大值为正实数，集合，集合.（1）求和；（2）定义与的差集：且.设，均为整数，且。为取自的概率，为取自的概率，写出与的三组值，使，并分别写出所有满足上述条件的（
2、从大到小）、（从小到大）依次构成的数列、的通项公式（不必证明）；（3）若函数中，（理）设、是方程的两个根，判断是否存在最大值及最小值，若存在，求出相应的值；若不存在，请说明理由。（文）写出的最大值，并判断是否存在最大值及最小值，若存在，求出相应的值；若不存在，请说明理由。解：（1）有最大值，.配方得，由.，。（2）要使，。可以使中有3个元素，中有2个元素，中有1个元素.则.中有6个元素，中有4个元素，中有2个元素。则.中有9个元素,中有6个元素,中有3个元素.则.（3）（理），得.，当且仅当时等号成立.在上单调递增。.又，故没有最小值。（文）单调递增，又，没有最大值。4已知函数是奇函数。(1)
3、求m的值；（2）判断在区间上的单调性并加以证明；（3）当时，的值域是，求的值.解:（1）m=1（2）由（1），任取，. .上是减函数；当0a1时，要使的值域是，则，而a1，上式化为又当x1时，.当.因而，欲使的值域是，必须，所以对不等式，当且仅当时成立. .5|AB|=|xB-xA|表示数轴上A、B两点的距离，它也可以看作满足一定条件的一种运算。这样，可以将满足下列三个条件的一个x与y间的运算p(x,y)叫做x,y之间的距离：条件一，非负性p(x,y)0，等号成立当且仅当x=y；条件二，交换律p(x,y)=p(y,x);条件三，三角不等式p(x,z)p(x,y)+p(y,z).试确定运算s(x
4、,y)=是否为一个距离？是，证明；不是，举出反例。解：要说明s(x,y)是否为距离，只要验证它是否满足三条即可s(x,y)=0等号成立当且仅当|x-y|=0,即x=y ，第一条满足s(x,y)=s(y,x) ，第二条也满足s(x,z)=函数f(x)=1-(或)在x0上单调增，且|x-z|x-y|+|y-z|(8分）s(x,z)=+=s(x,y)+s(y,z) （10分）总之，s(x,y)是距离6已知曲线相交于点A，以其上一动点P（x0,y0）为切点的直线l与y轴相交于Q点.（）求直线l的方程，并用x0表示Q点的坐标；（）求(）解：（）由正弦定理得：7设、为常数，：把平面上任意一点（，）映射为函
5、数（1）证明：不存在两个不同点对应于同一个函数； （2）证明：当时，这里t为常数； （3）对于属于M的一个固定值，得，在映射F的作用下，M1作为象，求其原象，并说明它是什么图象？答案：（1）假设有两个不同的点（，），（，）对应同一函数，即与相同，即对一切实数x均成立。特别令x=0，得a=c；令，得b=d这与（a，b），（c，d）是两个不同点矛盾，假设不成立.故不存在两个不同点对应同函数。（2）当时，可得常数a0，b0，使由于为常数，设是常数.从而。（3）设，由此得（，）在映射F下，的原象是（m，n），则M1的原象是消去t得，即在映射F下，M1的原象 是以原点为圆心，为半径的圆。8试构造一个函数
6、，使得对一切有恒成立，但是既不是奇函数又不是偶函数，则可以是9设ABC=,且AB=,符合此条件的(A,B,C)共有(注:A,B,C顺序不同为不同组) (A) A.500组 B.75组 C.972组 D.125组10电信局为了配合客户的不同需要，设有A，B两种优惠方案.这两种方案应付电话费（元）与通话时间（分钟）之间的关系如图所示（实线部分）(.注：图中MNCD)试问：（I）若通话时间为2小时，按方案A、B各付话费多少元？ （II）方案B从500分钟后，每分钟收费多少元？（III）通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠？解：设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为则由已知及图象可得
7、（I）通话时间2小时，按方案A，B各付话费116元和168元；（II）因为，所以方案B从500分钟后，每分钟收费0.3元；（III）由图象知，当时，由可得即当通话时间在（，方案B比方案A优惠.10已知函数，其中.a,b,c是非零实数,甲,乙两人做一种游戏：他们轮流确定系数a,b,c(比如甲令b=1,乙令,甲再令c=3)后,如果对于任意实数x,那末甲得胜;如果存在实数x,使,那么乙得胜.甲先选数,他是否有必胜的策略?为什么?如果a,b,c是任意实数,结论如何?为什么?11、(04河南)若求函数的单调区间.解：（I）当a=0时，若x0，则0,则0.所以当a=0时，函数f(x)在区间（，0）内为减函
8、数，在区间（0，+）内为增函数.（II）当由所以，当a0时，函数f(x)在区间（，）内为增函数，在区间（，0）内为减函数，在区间（0，+）内为增函数；（III）当a0，解得0x,由2x+ax20，解得x.所以当a0时，函数f(x)在区间（，0）内为减函数，在区间（0，）内为增函数，在区间（，+）内为减函数.12、(04河南文)已知在上是减函数，求的取值范围.解：（）当（）时，是减函数.所以，当是减函数；（II）当时，=由函数在R上的单调性，可知当时，）是减函数；（）当时，在R上存在一个区间，其上有所以，当时，函数不是减函数.综上，所求的取值范围是（13、若函数在区间(1,4)内为减函数，在区间
9、(6,)上为增函数，试求实数的取值范围.解：函数的导数 令，解得 为增函数.依题意应有 当所以 解得所以a的取值范围是5，7.14、已知函数,.(i)求函数的最大值；(ii)设,证明:.（）解：函数的定义域为. 令 当 当 又 故当且仅当x=0时，取得最大值，最大值为0. （）证法一： 由（）结论知由题设 因此 所以 又综上 证法二：设 则 当 在此内为减函数.当上为增函数.从而，当有极小值因此 即 设 则 当 因此上为减函数.因为 即 15、求函数在0,2上的最小值.解：令 化简为 解得当单调增加；当单调减少.所以为函数的极大值.又因为 所以 为函数在0，2上的最小值，为函数在0，2上的最大
10、值.16、已知函数在处取得极值.（1）讨论和是函数的极大值还是极小值；（2）过点作曲线的切线，求此切线方程.（1）解：，依题意，即 解得。 。 令，得。若，则，故在上是增函数，在上是增函数。若，则，故在上是减函数。所以，是极大值；是极小值。（2）解：曲线方程为，点不在曲线上。设切点为，则点M的坐标满足。因，故切线的方程为注意到点A（0，16）在切线上，有化简得，解得。所以，切点为，切线方程为。17、10、已知函数是R上的奇函数，当时取得极值.（1）求的单调区间和极大值；（2）证明对任意，不等式恒成立.（1）解：由奇函数的定义，应有，即 因此， 由条件为的极值，必有，故解得，因此，当时，故在单调
11、区间上是增函数当时，故在单调区间上是减函数当时，故在单调区间上是增函数所以，在处取得极大值，极大值为（2）解：由（1）知，是减函数，且在上的最大值在上的最小值所以，对任意的，恒有18、(04重庆)某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量（吨）与每吨产品的价格（元/吨）之间的关系式为：,且生产x吨的成本为（元）.问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入成本）解：每月生产x吨时的利润为 ，故它就是最大值点，且最大值为： 答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元.19、14、已知在区间-1，1上是增函数.（）求实数的值组成的集合；（）设关于的方程的
12、两个非零实根为.试问：是否存在实数，使得不等式对任意及-1，1恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.解：（）f(x)= ，f(x)在-1，1上是增函数，f(x)0对x-1，1恒成立，即x2-ax-20对x-1，1恒成立. 设(x)=x2-ax-2，方法一： (1)=1-a-20， -1a1， (-1)=1+a-20.对x-1，1，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f(-1)=0以及当a=-1时，f(1)=0A=a|-1a1.方法二： 0， 0x1，x2是方程x2-ax-2=0的两非零实根， x1+x2=a， 从而|x1-x2|=.x1x2=-2，-1a1，|x1-x2|=3.要使不等式m2+tm+1|x1-x2|对任意aA及t-1，1恒成立，当且仅当m2+tm+13对任意t-1，1恒成立，即m2+tm-20对任意t-1，1恒成立. 设g(t)=m2+tm-2=mt+(m2-2)，方法一： g(-1)=m2-m-20， g(1)=m2+m-20，m2或m-2.所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1|x1-x2|对任意aA及t-1，1恒成立，其取值范围是m|m2，或m-2.方法二：当m=0时，显然不成立；当m0
