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1、高二数学导数与单调区间、极值(文)人教实验A版【本讲教育信息】一. 教学内容:导数与单调区间、极值二. 重点、难点:1. 在某区间()内,若那么函数在这个区间内单调递增,若,那么函数在这个区间内单调递减。2. ,在,则称为的极大值。3. ,在,则称为的极小值。4. 极值是一个局部性质5. 时,是为极值的既不充分也不必要条件。【典型例题】例1 求下列函数单调区间(1)解: (2) (3) 定义域为 例2 求满足条件的a的取值范围。(1)为R上增函数解: 时,也成立 )(2)为R上增函数 成立,成立 (3)为R上增函数 例3 证明下面各不等式(1),证: 令 在 任取 即: 令 在(0,)上 任取
2、即(2)令 例4 求下列函数的极值。(1)解: (,0)0(0,1)1(1,+)+0+ (2) (,0)0(0,)(,1)1(1,+)+00+0+ (3) (,)(,) (,1)1(1,+)0+0+ 例5 在处取得极值10,求。解: 或(舍) 例6 曲线(),过P(1,1)在原点取得极小值。求此函数的极大值的最小值。解:由已知 令 ()2(2,0)0+例7 已知在区间上是增函数,求实数a的取值范围。解: 在1,1上是增函数 对恒成立,即0对恒成立设,则 解得例8 已知函数的图象如下图所示(其中是函数的导函数),下面四个图象中的图象大致是( )答案:C例9 设是R上的偶函数,(1)求的值;(2)
3、证明在(0,)上是增函数。解:(1)依题意,对一切,有。即,即。所以对一切,恒成立。由于不恒为0,所以,即。又因为,所以(2)证明:由,得当时,有,此时。所以在(0,+)内是增函数例10 已知()在时取得极值,且(1)试求常数的值;(2)试判断是函数的极小值还是极大值,并说明理由。解:(1) 是函数的极值点 是方程,即是方程的两根由根与系数的关系得 又 (3)由(1)(2)(3)解得(2) 令,得或;令,得 函数在和上是增函数,在(1,1)上是减函数 当时,函数取得极大值,当x=1时,函数取得极小值f(1)=1【模拟试题】(答题时间:80分钟)1. 设函数在(,+)内可导,且恒有,则下列结论正
4、确的是( )A. 在R上单调递减B. 在R上是常数C. 在R上不单调D. 在R上单调递增2. 若函数的图象的顶点在第四象限,则函数的图象是( )3. 函数的单调递减区间为( ) A. B. C. D. 4. 关于函数,下列说法不正确的是( )A. 在区间()内,为增函数B. 在区间(0,2)内,为减函数C. 在区间(2,+)内,为增函数D. 在区间()(2,+)内,为增函数5. 设是函数的导函数,的图象如下左图,则的图象最有可能的是( )6. 下列说法正确的是( )A. 当时,则为的极大值 B. 当时,则为f(x)的极小值C. 当时,则为f(x)的极值D. 当为函数f(x)的极值时,则有7.
5、函数有( )A. 极小值1,极大值1B. 极小值2,极大值3C. 极小值2,极大值2D. 极小值1,极大值38. 函数,已知在时取得极值,则( ) A. 5 B. 4 C. 3 D. 29. 函数的定义域为(0,+),且,那么函数( ) A. 存在极大值 B. 存在极小值 C. 是增函数 D. 是减函数10. 函数有极值的充要条件是( ) A. B. C. D. 11. 函数在(1,1)内的单调性是 。12. 已知函数在R上是减函数,则的范围为 。13. 求下列函数的单调区间。(1),(2)14. 求函数的极值。15. 求的极值16. 已知函数,求的单调区间和值域。17. 已知函数在与x=1时
6、都取得极值,求的值与函数的单调区间。18. 已知函数的图象过点P(0,2),且在点M(1,f(1)处的切线方程,(1)求函数的解析式;(2)求函数的单调区间。19. 已知函数是R上的奇函数,当x=1时,f(x)取得极值2。(1)求f(x)的单调区间和极大值;(2)证明对任意,不等式恒成立。【试题答案】1. D 2. A 3. B 4. D 5. C 6. D 7. D 8. A 9. C 10. B11. 增函数 12. 13. 解:(1) ,令得或,令得 函数的递增区间为()和(2,+),递减区间为(0,2)(2) 函数的定义域为(0,+),令得或令得或 函数的单调区间为(),单调减区间为(
7、0,)14. 解: ,令解得当x变化时,的变化情况如下表:2(2,2)2(2,+)+00+单调递增极大值单调递减极小值单调递增 因此,当时,函数有极大值,并且;当时,函数有极小值,并且。15. 解: ,令,解得当变化时,的变化情况如下表:1(1,0)0(0,1)1(1,+)00+0+单调递减无极值单调递减极小值0单调递增无极值单调递增 因此,当x=0时,函数有极小值,并且16. 解: 令解得或(舍)当x变化时,的变化情况如下表:0()()10+43 当时,是减函数,当时,是增函数,当(0,1)时,的值域为17. 解:(1) 由,得,当自变量x变化时,和f(x)的变化情况如下表:()(,1)1(1,)+00+极大值极小值 所以函数f(x)的递增区间是()和(1,),递减区间是(,1)18. 解:(1)由f(x)的图象经过P(0,2),知d=2,所以,由在点M()处的切线方程为 即 ,解得故所求的解析式是(2) 令,解得当或时,;当时,故在内是增函数,在()内是减函数,在()内是增函数19. 解:(1)由奇函数定义,应有即 因此由条件为f(x)的极值,必有,故,解得因此,当时,故在单调区间()上是增函数当时,故在单调区间()上是减函数当时,故在单调区间(1,)上是增函数所以在处取得极大值,极大值为(2)解:由(1)知,是减函数,且在1,1上的最大值在1,1上的最小值所以对任意,恒有