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1、高二数学导数与单调区间、极值（文）人教实验A版【本讲教育信息】一. 教学内容：导数与单调区间、极值二. 重点、难点：1. 在某区间（）内，若那么函数在这个区间内单调递增，若，那么函数在这个区间内单调递减。2. ，在，则称为的极大值。3. ，在，则称为的极小值。4. 极值是一个局部性质5. 时，是为极值的既不充分也不必要条件。【典型例题】例1 求下列函数单调区间（1）解： （2） （3） 定义域为 例2 求满足条件的a的取值范围。（1）为R上增函数解： 时，也成立 ）（2）为R上增函数 成立，成立 （3）为R上增函数 例3 证明下面各不等式（1），证： 令 在 任取 即： 令 在（0，）上 任取
2、即（2）令 例4 求下列函数的极值。（1）解： （，0）0（0，1）1（1，+）+0+ （2） （，0）0（0，）（，1）1（1，+）+00+0+ （3） （，）（，） （，1）1（1，+）0+0+ 例5 在处取得极值10，求。解： 或（舍） 例6 曲线（），过P（1，1）在原点取得极小值。求此函数的极大值的最小值。解：由已知 令 （）2（2，0）0+例7 已知在区间上是增函数，求实数a的取值范围。解： 在1，1上是增函数 对恒成立，即0对恒成立设，则 解得例8 已知函数的图象如下图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是（ ）答案：C例9 设是R上的偶函数，（1）求的值；（2）
3、证明在（0，）上是增函数。解：（1）依题意，对一切，有。即，即。所以对一切，恒成立。由于不恒为0，所以，即。又因为，所以（2）证明：由，得当时，有，此时。所以在（0，+）内是增函数例10 已知（）在时取得极值，且（1）试求常数的值；（2）试判断是函数的极小值还是极大值，并说明理由。解：（1） 是函数的极值点 是方程，即是方程的两根由根与系数的关系得 又 （3）由（1）（2）（3）解得（2） 令，得或；令，得 函数在和上是增函数，在（1，1）上是减函数 当时，函数取得极大值，当x=1时，函数取得极小值f（1）=1【模拟试题】（答题时间：80分钟）1. 设函数在（，+）内可导，且恒有，则下列结论正
4、确的是（ ）A. 在R上单调递减B. 在R上是常数C. 在R上不单调D. 在R上单调递增2. 若函数的图象的顶点在第四象限，则函数的图象是（ ）3. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 4. 关于函数，下列说法不正确的是（ ）A. 在区间（）内，为增函数B. 在区间（0，2）内，为减函数C. 在区间（2，+）内，为增函数D. 在区间（）（2，+）内，为增函数5. 设是函数的导函数，的图象如下左图，则的图象最有可能的是（ ）6. 下列说法正确的是（ ）A. 当时，则为的极大值 B. 当时，则为f（x）的极小值C. 当时，则为f（x）的极值D. 当为函数f（x）的极值时，则有7.
5、函数有（ ）A. 极小值1，极大值1B. 极小值2，极大值3C. 极小值2，极大值2D. 极小值1，极大值38. 函数，已知在时取得极值，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 29. 函数的定义域为（0，+），且，那么函数（ ） A. 存在极大值 B. 存在极小值 C. 是增函数 D. 是减函数10. 函数有极值的充要条件是（ ） A. B. C. D. 11. 函数在（1，1）内的单调性是 。12. 已知函数在R上是减函数，则的范围为 。13. 求下列函数的单调区间。（1），（2）14. 求函数的极值。15. 求的极值16. 已知函数，求的单调区间和值域。17. 已知函数在与x=1时
6、都取得极值，求的值与函数的单调区间。18. 已知函数的图象过点P（0，2），且在点M（1，f（1）处的切线方程，（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调区间。19. 已知函数是R上的奇函数，当x=1时，f（x）取得极值2。（1）求f（x）的单调区间和极大值；（2）证明对任意，不等式恒成立。【试题答案】1. D 2. A 3. B 4. D 5. C 6. D 7. D 8. A 9. C 10. B11. 增函数 12. 13. 解：（1） ，令得或，令得 函数的递增区间为（）和（2，+），递减区间为（0，2）（2） 函数的定义域为（0，+），令得或令得或 函数的单调区间为（），单调减区间为（
7、0，）14. 解： ，令解得当x变化时，的变化情况如下表：2（2，2）2（2，+）+00+单调递增极大值单调递减极小值单调递增 因此，当时，函数有极大值，并且；当时，函数有极小值，并且。15. 解： ，令，解得当变化时，的变化情况如下表：1（1，0）0（0，1）1（1，+）00+0+单调递减无极值单调递减极小值0单调递增无极值单调递增 因此，当x=0时，函数有极小值，并且16. 解： 令解得或（舍）当x变化时，的变化情况如下表：0（）（）10+43 当时，是减函数，当时，是增函数，当（0，1）时，的值域为17. 解：（1） 由，得，当自变量x变化时，和f（x）的变化情况如下表：（）（，1）1（1，）+00+极大值极小值 所以函数f（x）的递增区间是（）和（1，），递减区间是（，1）18. 解：（1）由f（x）的图象经过P（0，2），知d=2，所以，由在点M（）处的切线方程为 即 ，解得故所求的解析式是（2） 令，解得当或时，；当时，故在内是增函数，在（）内是减函数，在（）内是增函数19. 解：（1）由奇函数定义，应有即 因此由条件为f（x）的极值，必有，故，解得因此，当时，故在单调区间（）上是增函数当时，故在单调区间（）上是减函数当时，故在单调区间（1，）上是增函数所以在处取得极大值，极大值为（2）解：由（1）知，是减函数，且在1，1上的最大值在1，1上的最小值所以对任意，恒有
