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1、初二数学轴对称性的应用初二数学轴对称性的应用江苏科技版江苏科技版 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 轴对称性的应用 目标 研究轴对称性及其相关性质，进行实际问题的应用。 二. 重点、难点： 深刻体会轴对称性，来解决现实中的实际问题。 常用知识点： 线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等。 三角形两边之和大于第三边。 【典型例题典型例题】 例 1. 请找出下列符号所蕴含的内在规律，然后在横线上设计一个恰当的图形。 （哈佛大 学 77 年入学考试试题） 分析：分析：这几幅图分别是阿拉伯数字 1、2、3、4、7 在右半边，然后，通过轴对称画出 左半边的图像。你看出来了吗？那么横线上就应
2、该是 6，然后按照轴对称性画出左半边的 图。那么按照这种规律，接下来还有什么样的图像呢？你会画吗？ 例 2. 如图，有 20 根钉子，相邻两个钉子间的距离等于 1cm，请从 1 号钉子开始到 2 号 钉子为止绷上一根 19cm 长的线，使得这根线通过所有的钉子。 解：解：如图所示。 例 3. 如图，牧童在处放牛，其家在处，到河岸的距离分别为，且ABBA、BDAC、 ，若到河岸 CD 的中点的距离为 500m。BDAC A （1）牧童从处把牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短?在图A 中作出该处，并说明理由； （2）最短路程是多少? 解：解：（1）已知直线同侧两点、。求作：上一点
3、，使CDCD和ABCDM 最小。BMAM 作法：作法：作点关于的对称点；ACD A 连结交于点，则点即为所求的点。BACDMM 证明：证明：在上任取一点，连结，CDMAMBMMAMA、 直线是、的对称轴，、在上，CDA AMMCD ，MAAMMAAM， ，BABMMABMAM 在中，ABCBABMMA ，即最小。BMAMBMMABMAM （2）由（1）可得：，BDACCAMAAM， ，CMABDMDMCMBMMA， 即为的中点且，MCDAMBA2 ，mAM500mAMBMAMBA10002 最短路程为。m1000 例 4. 如图，OA、OB 是两条相交的公路，点 P 是一个邮电所，现想在 OA
4、、OB 上各设 立一个投递点，要想使邮电员每次投递路程最近，问投递点应设立在何处？ 作法：作法：作点 P 关于直线 AO 的对称点 M，作点 P 关于直线 BO 的对称点 N； 连结 MN 分别交 AO、BO 于 E、F； 连接 EF、PE、PF，PEF 即为所求三角形。 证明：证明：在 AO 上任取一点 E，连结 ME、FE、PE。 M 是 P 关于直线 AO 的轴对称点， PE=ME，PE=ME。 在中，FME EFPEEFMEMFFEME FPEFPEFPFEPE 即的周长的周长。FPEPEF 同理，在 BO 上任取一点 F亦可证的周长的周长。PEFPEF 的周长最小。PEF 例 5.
5、如图，村庄 A、B 位于一条小河的两侧，若河岸 a、b 彼此平行，现在要建设一座 与河岸垂直的桥 CD，问桥址应如何选择，才能使 A 村到 B 村的路程最近？ 作法：作法：设 a、b 的距离为 r。 把点 B 竖直向上平移 r 个单位得到点 B； 连接 AB，交 a 于 C； 过 C 作 CDb 于 D； 连接 AC、BD。 证明：证明：BBCD 且 BBCD， 四边形 BBCD 是平行四边形，CBBD ACCDDBACCBBBABBB 在 a 上任取一点 C，作 CD，连接 AC、DB，CB 同理可得 ACCDDBACCBBB 而 ACCBA B ACCDDB 最短。 例 6. 在正方形 A
6、BCD 上，P 在 AC 上，E 是 AB 上一定点，则当点 P 运动到何处时， PBE 的周长最小? 作法：作法：连接 DE 交 AC 于 Q，当 P 运动到 Q 点处时，PBE 的周长最小。 证明：证明：连接 BQ。 P、Q 都在正方形对角线 AC 上， PB=PD，QB=QD BP+PE=DP+PE，BQ+QE=DQ+QE=DE 而 DP+PE DE BP+PE BQ+QE 又PBE 的周长=BE+ BP+PE，QBE 的周长=BE+ BQ+QE PBE 的周长QBE 的周长 即当 P 运动到 Q 点处时，PBE 的周长最小。 【模拟试题模拟试题】 （答题时间：30 分钟） 1. 将一张
7、正方形的纸片按下图方式三次折叠，沿 MN 裁剪，则可得（ ） （A）多个等腰直角三角形 （B）一个等腰直角三角形和一个正方形 （C）两个相同的正方形 （D）四个相同的正方形 2. 请你将一个等边三角形分割成三角形或四边形（至少 4 块） ，然后将它们重新组合， 拼成轴对称图案。 3. 设正三角形 ABC 的边长为 2，M 是 AB 上的中点，在 BC 边上找一点，使 PA+PM 的 值最小? 4. 如图，A、B 是直线 a 同侧的两定点，定长线段 PQ 在 a 上平行移动，问 PQ 移动到什 么位置时，AP+PQ+QB 的长最短？ 5. 如图，P 为AOB 内一点，试在 OA，OB 上各找一点
8、 M、N。使PMN 周长最小。 【试题答案试题答案】 1. D。动手做做看 2. 如图所示。长方形是轴对称图案。 3. 解：取点 A 关于 BC 的对称点 A，连接 MA交 BC 于 P，连接 PA、PM 证明：在 BC 上任取一点 P，连接 PA、PM 由对称性知：PA=PA，PA=PA PA+PM= PA+ PM=MA，PA+PM= PA+ PM 又 MA PA+ PM PA+PM 最小。 4. 作法：作 BBCD 且 BBPQ 作点 A 关于 a 的对称点 A 连接 AB交 a 于 P，在 a 上向右取定长 PQ。 则此时的位置，AP+PQ+QB 的长最短。 证明（略） 5. 分析：若能
9、在 OA，OB 找到点 M、N，使 PM+MN+NP 为某一线段的长，而另找到的 OA、OB 上的点与 P 构成的三角形周长都大于该线段长，则 M、N 为所求两点，故可考虑 分别作 P 关于 OA 的对称点 P1、P 关于 OB 的对称点 P2。连 P1P2与 OA、OB 分别交于 M、N。PMN 即为所求。 解：分别作 P 关于 OA、OB 的对称点 P1，P2，连 P1、P2交 OA 于 M，OB 于 N。 PMN 即为所求。 证：在 OA 上任取一点 M1，OB 上任取一点 N1（M1N1中至少有一点异于 M、N） ，连 MP1、N1P2。 OA 为 P1P 中垂线，OB 为 P2P 中垂线 MP=MP1 M1P=M1P1 PN=P2N PN1=P2N1。 PMN 周长为 PM+PN+MN=P1M+MN+NP2=P1P2 PM1N1周长为 PM1+PN1+M1N1=P1M1+M1N1+N1P2P1P2=PM+PN+MN PMN 周长最小，M、N 为所求的点。
