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1、专题检测(五)解析几何(本卷满分150分，考试用时120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共计60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1过点(2,0)且垂直于直线x2y30的直线方程为A2xy40B2xy40Cx2y20 Dx2y20解析易知所求直线的斜率为2，所以方程为y02(x2)，即2xy40.答案A2(2011中山模拟)若抛物线y22px的焦点与椭圆1的右焦点重合，则p的值为A2 B2C4 D4解析据题意2，p4.答案D3下列曲线中离心率为的是A.1 B.1C.1 D.1解析选项A、B、C、D中曲线的离心率分别是、.答案B4已知抛物线C：y2x与直线l：
2、ykx1，“k0”是“直线l与抛物线C有两个不同的交点”的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析由得ky2y10，当k0时，14k0，得k.即若直线l与抛物线C有两个不同的交点，则k且k0，故选D.答案D5已知圆C与直线xy0及xy40都相切，圆心在直线xy0上，则圆C的方程为A(x1)2(y1)22 B(x1)2(y1)22C(x1)2(y1)22 D(x1)2(y1)22解析设圆心坐标为(a，a)，r，解得a1，r，故所求的方程为(x1)2(y1)22.答案B6若曲线x2y22x6y10上相异两点P、Q关于直线kx2y40对称，则k的值为A1 B1C. D
3、2解析曲线方程可化为(x1)2(y3)29，由题设知直线过圆心，即k(1)2340，k2.故选D.答案D7已知椭圆1的两个焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点，满足F1PF230，则F1PF2的面积为A3(2) B3(2)C2 D2解析由题意，得所以|PF1|PF2|12(2)，所以SF1PF2|PF1|PF2|sin 303(2)答案B8直线axy0(a0)与圆x2y29的位置关系是A相离 B相交C相切 D不确定解析圆x2y29的圆心为(0,0)，半径为3.由点到直线的距离公式d得该圆圆心(0,0)到直线axy0的距离d，由基本不等式可以知道，从而d1r3，故直线axy0与圆x2y29的位置
4、关系是相交答案B9(2011大纲全国卷)已知抛物线C：y24x的焦点为F，直线y2x4与C交于A，B两点，则cosAFBA. B.C D解析解法一由得或令B(1，2)，A(4,4)，又F(1,0)，由两点间距离公式得|BF|2，|AF|5，|AB|3.cosAFB.解法二由解法一得A(4,4)，B(1，2)，F(1,0)，(3,4)，(0，2)，|5，|2.cosAFB.答案D10已知椭圆1和双曲线1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是Axy ByxCxy Dyx解析由双曲线方程判断出公共焦点在x轴上，椭圆的右焦点(，0)，双曲线的右焦点(，0)，3m25n22m23n2，m28n2，即|m
5、|2|n|，双曲线的渐近线为yxx，即yx.答案D11(2010课标全国卷)已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(12，15)，则E的方程为A.1 B.1C.1 D.1解析kAB1，直线AB的方程为yx3.由于双曲线的焦点为F(3,0)，c3，c29.设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则1.整理，得(b2a2)x26a2x9a2a2b20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22(12)，a24a24b2，5a24b2.又a2b29，a24，b25.双曲线E的方程为1.答案B12如图所示，F1和F2分别是双曲线1(a
6、0，b0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且F2AB是等边三角形，则离心率为A. B.1C. D.1解析设F2(c,0)，则圆O的方程是x2y2c2.与双曲线方程联立，消掉y得1，解得x(舍去正值)由于O是正三角形F2AB的外接圆的圆心，也是其重心，故F2到直线AB的距离等于|OF2|，即c，即2ac2.将b2c2a2代入上式，并平方得4a2(2c2a2)c4，整理，得c48a2c24a40，两端同时除以a4，得e48e240.解方程得e242，由于e21，故e242，所以e1.答案D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共计16分把答案填在题
7、中的横线上)13在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2x2上一点M，点M的横坐标是2，则M到抛物线焦点的距离是_解析因为点M的横坐标是2，故其纵坐标为8，又，所以M到抛物线焦点的距离为8.答案14点P为双曲线y21上一动点，O为坐标原点，M为线段OP中点，则点M的轨迹方程是_解析设P(x0，y0)，M(x，y)，则x02x，y02y，代入双曲线方程得x24y21.答案x24y2115已知椭圆的中心在原点，离心率e，且它的一个焦点与抛物线x24y的焦点重合，则此椭圆的方程为_解析抛物线的焦点为(0，)，椭圆的中心在原点，则所求椭圆的一个焦点为(0，)，半焦距c，又离心率e，所以a2，b1，故所求椭
8、圆的方程为x21.答案x2116已知a(6,2)，b，直线l过点A(3，1)，且与向量a2b垂直，则直线l的一般方程是_解析a2b(6,2)2(2,3)，与向量a2b平行的直线的斜率为，又l与向量a2b垂直，l的斜率k.又l过点A(3，1)，直线l的方程为y1(x3)，化成一般式为2x3y90.答案2x3y90三、解答题(本大题共6小题，共74分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(12分)(2011福建)如图，直线l：yxb与抛物线C：x24y相切于点A.(1)求实数b的值；(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程解析(1)由得x24x4b0.(*)因为直线l与
9、抛物线C相切，所以(4)24(4b)0，解得b1.(2)由(1)可知b1，故方程(*)即为x24x40，解得x2.将其代入x24y，得y1.故点A(2,1)因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y1的距离，即r|1(1)|2，所以圆A的方程为(x2)2(y1)24.18(12分)(2011安徽)设直线l1：yk1x1，l2：yk2x1，其中实数k1，k2满足k1k220.(1)证明：l1与l2相交；(2)证明：l1与l2的交点在椭圆2x2y21上证明(1)假设l1与l2不相交，则l1与l2平行，有k1k2，代入k1k220，得k20，这与k1为实数的事实相矛盾，
10、从而k1k2，即l1与l2相交(2)解法一由方程组解得交点P的坐标为，而2x2y22221.此即表明交点P(x，y)在椭圆2x2y21上解法二交点P的坐标(x，y)满足故知x0.从而代入k1k220，得20.整理后，得2x2y21，所以交点P在椭圆2x2y21上19(12分)(2011开封模拟)如图所示，已知圆O：x2y24，直线m：kxy10.(1)求证：直线m与圆O有两个相异交点；(2)设直线m与圆O的两个交点为A、B，求AOB面积S的最大值解析(1)证明直线m：kxy10可化为y1kx，故该直线恒过点(0,1)，而(0,1)在圆O：x2y24内部，所以直线m与圆O恒有两个不同交点(2)圆
11、心O到直线m的距离为d，而圆O的半径r2，故弦AB的长为|AB|22，故AOB面积S|AB|d2d.而d2，因为1k21，所以d2(0,1，显然当d2(0,1时，S单调递增，所以当d21，即k0时，S取得最大值，此时直线m的方程为y10.20(12分)已知圆C的方程为x2y24.(1)直线l过点P(1,2)，且与圆C交于A、B两点，若|AB|2，求直线l的方程；(2)过圆C上一动点M(不在x轴上)作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量，求动点Q的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线解析(1)当直线l垂直于x轴时，直线方程为x1，l与圆的两个交点坐标为(1，)和(1，)，其距离为2，满足
12、题意若直线l不垂直于x轴，设其方程为y2k(x1)，即kxyk20.设圆心到此直线的距离为d，则22，得d1.所以1，解得k，故所求直线方程为3x4y50.综上所述，所求直线方程为3x4y50或x1.(2)设点M的坐标为(x0，y0)(y00)，Q点坐标为(x，y)，则N点坐标是(0，y0)因为，所以(x，y)(x0,2y0)，即x0x，y0.又因为M是圆C上一点，所以xy4，所以x24(y0)，所以Q点的轨迹方程是1(y0)，这说明轨迹是中心在原点，焦点在y轴，长轴为8、短轴为4的椭圆，除去短轴端点21(12分)(2011上海)已知椭圆C：y21(常数m1)，P是曲线C上的动点，M是曲线C的右顶点，定点A的坐标为(2,0)(1)若M与A重合，求曲线C的焦点坐标；(2)若m3，求|PA|的最大值与最小值；(3)若|PA|的最小值为|MA|，求实数m的取值范围解析(1)由题意知m2，椭圆方程为y21，c，左
