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1、第八章 第十节 圆锥曲线的综合问题 (时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1是任意实数，则方程x2y2sin4所表示的曲线不可能是()A椭圆 B双曲线C抛物线 D圆解析：R，sin1,1，方程x2y2sin4不可能是抛物线答案：C2(2011烟台模拟)抛物线y212x的准线与双曲线1的两条渐近线所围成的三角形面积等于()A3 B2C2 D.解析：由题意知，准线x3，渐近线yx，可求三角形面积为3.答案：A3已知抛物线C的方程为x2y，过A(0，1)，B(t,3)两点的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是()A(，1)(1，)B(，)(，)C(，2
2、)(2，)D(，)(，)解析：直线AB的方程为yx1，与抛物线方程x2y联立得x2x0，由于直线AB与抛物线C没有公共点，所以2或t0)与椭圆1(a0，b0)有相同的焦点F，A是两曲线的一个交点，且AFx轴，则椭圆的离心率为()A. B.C.1 D.1解析：由题意知，c，p，2c，a2c22ac，1e22e，解得e1.答案：D6(2011临沂模拟)如图，F1、F2分别是椭圆1(ab0)的左、右焦点，A和B是以O(O为坐标原点)为圆心，以|OF1|为半径的圆与该椭圆的两个交点，且F2AB是等边三角形，则椭圆的离心率为()A. B.C. D.1解析：依题意知F1AF290，AF2F130，|AF1
3、|F1F2|c，|AF2|c，由椭圆的定义得|AF2|AF1|2a，(1)c2a椭圆的离心率e1.答案：D二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7已知F是抛物线C：y24x的焦点，A、B是C上的两个点，线段AB的中点为M(2,2)，则ABF的面积等于_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(y1y2)(y1y2)4(x1x2)1.线段AB所在直线方程为y2x2，即yx.x24x0x0，x4.A(0,0)，B(4,4)|AB|4.F(1,0)，F到线段AB的距离d.SABF|AB|d2.答案：28已知直线l与椭圆x22y22交于P1、P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线l的斜
4、率为k1(k10)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值等于_解析：设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则P(，)，k2，k1，k1k2. 由，相减得yy(xx)故k1k2.答案：9(2011大连模拟)已知1(m0，n0)，当mn取得最小值时，直线yx2与曲线1的交点个数为_解析：2 ，mn8.当且仅当时，即m2，n4时等号成立曲线为1.当x0，y0时，表示椭圆1的一部分；当x0时，表示双曲线1的一部分；当x0，y0时，表示双曲线1的一部分，当x0，yb0)的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限的一点，B也在椭圆上，且满足0(O为坐标原点)，0，且椭圆的离心率为.(1)求直线AB的方程；(
5、2)若ABF2的面积为4，求椭圆的方程解：(1)由0知直线AB过原点，又0，.又e，ca，b2a2，椭圆方程为1，即x22y2a2，设A(a，y)代入x22y2a2yaA(a，a)，直线AB的方程为yx.(2)由对称性知SABF1，2ca4.又ca，a216，b28，椭圆方程为1.11(2011广州模拟)已知点F(0,1)，直线l：y1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)已知圆M过定点D(0,2)，圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交于A、B两点，设|DA|l1，|DB|l2，求的最大值解：(1)设P(x，y)，则Q(x，1)，(0，y1
6、)(x,2)(x，y1)(x，2)即2(y1)x22(y1)，即x24y，所以动点P的轨迹C的方程为x24y.(2)设圆M的圆心坐标为(a，b)，则a24b.圆M的半径为|MD|.圆M的方程为(xa)2(yb)2a2(b2)2.令y0，则(xa)2b2a2(b2)2，整理得，x22ax4b40.由、解得xa2.不妨设A(a2,0)，B(a2,0)，l1，l2.22，当a0时，由得，222.当且仅当a2时，等号成立当a0时，由得，2.故当a2时，的最大值为2.12(2010江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆1的左、右顶点为A、B，右焦点为F.设过点T(t，m)的直线TA、TB与此
7、椭圆分别交于点M(x1，y1)、N(x2，y2)，其中m0，y10，y20.(1)设动点P满足PF2PB24，求点P的轨迹；(2)设x12，x2，求点T的坐标；(3)设t9，求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)解：由题设得A(3,0)，B(3,0)，F(2,0)(1)设点P(x，y)，则PF2(x2)2y2，PB2(x3)2y2.由PF2PB24，得(x2)2y2(x3)2y24，化简得x.故所求点P的轨迹为直线x.(2)由x12，1及y10，得y1，则点M(2，)，从而直线AM的方程为yx1；由x2，1及y20，得y2，则点N(，)，从而直线BN的方程为yx.由解得所以点T的坐标为(7，)(3)证明：由题设知，直线AT的方程为y(x3)，直线BT的方程为y(x3)点M(x1，y1)满足得，因为x13，则，解得x1，从而得y1.点N(x2，y2)满足解得x2，y2.若x1x2，则由及m0，得m2，此时直线MN的方程为x1，过点D(1,0)若x1x2，则m2，直线MD的斜率kMD，直线ND的斜率kND，得kMDkND，所以直线MN过D点因此，直线MN必过x轴上的点(1,0)
