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1、第4章 第8节一、选择题1一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60，另一灯塔在船的南偏西75，则这只船的速度是每小时()A5海里 B5海里C10海里 D10海里答案C解析依题意有BAC60，BAD75，所以CADCDA15，从而CDCA10，在直角三角形ABC中，可得AB5，于是这只船的速度是10(海里/小时)2如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，ACB45，CAB105后，就可以计算A、B两点的距离为()A50mB50mC25m D.m答案A解析由题意知AB
2、C30由正弦定理AB50(m)3一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为()A.海里/小时 B34海里/小时C.海里/小时 D34海里/小时答案A解析如图所示，在PMN中，MN34，v(海里/小时)4为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼顶D处测得塔顶A的仰角为30，测得塔基B的俯角为45，那么塔AB的高度是()A20m B20mC20(1)m D30m答案A解析如图所示，四边形CBMD为正方形，而CB20m，所以BM20m.又在RtAMD中，DM20m，ADM30，AMDMtan30(
3、m)，ABAMMB2020m.5如图所示，D，C，B三点在地面同一直线上，DCa，从C、D两点测得A点的仰角分别是、(0，x1.7如图，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15，向山顶前进100米到达B后，又测得C对于山坡的斜度为45，若CD50米，山坡对于地平面的坡角为，则cos()A. B2C.1 D.答案C解析在ABC中，BC50()，在BCD中，sinBDC1，由图知cossinADEsinBDC1.8空中有一气球，在它的正西方A点测得它的仰角为45，同时在它南偏东60的B点，测得它的仰角为30，若A，B两点间的距离为266米，这两个观测点均离地1米，那么
4、测量时气球到地面的距离是()A.米 B.米C266米 D266米答案B解析如图，D为气球C在过AB且与地面平行的平面上的正投影，设CDx米，依题意知：CAD45，CBD30，则ADx米，BDx米在ABD中，由余弦定理得AB2AD2BD22ADBDcosADB，即2662x2(x)22x(x)cos1507x2，解得x，故测量时气球到地面的距离是米，故选B.二、填空题9海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，则B、C的距离是_答案5海里解析在ABC中由正弦定理得，BC5.10我舰在岛A南50西12海里的B处，发现敌舰正从岛沿北10西的方向
5、以每小时10海里的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度为_答案14海里/小时解析设我舰在C处追上敌舰，速度为V，则在ABC中，AC20，AB12，BAC120.BC2784，V14海里/小时112009年8月9日，莫拉克台风即将登陆福建省霞浦县，如图，位于港口O正东方向20海里的B处的渔船回港避风时出现故障位于港口南偏西30方向，距港口10海里的C处的拖轮接到海事部门营救信息后以30海里/小时的速度沿直线CB去营救渔船，则拖轮到B处需要_小时分析求解本题的关键是把实际应用问题转化为数学问题，然后再利用余弦定理解决答案解析由题易知，BOC120，因为BC2OC2OB22OCOBcos120
6、700，所以BC10，所以拖轮到达B处需要的时间t(小时)三、解答题12如图某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75，距离为12n mile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30，距离为8n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60，求：(1)A处与D处的距离；(2)灯塔C与D处的距离(结果精确到1n mile)解析(1)在ABD中，ADB60，B45，由正弦定理得AD24(n mile)(2)在ADC中，由余弦定理得CD2AD2AC22ADACcos30，解得CD814(n mile)即A处与D处的距离为24n mile，灯塔C与D处的距离约为14n mile.13某海域内一
7、观测站A，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东50且与A相距80海里的位置B，经过1小时又测得该船已行驶到点A北偏东50(其中sin，090)且与A相距60海里的位置C.(1)求该船的行驶速度；(2)若该船不改变航行方向继续向前行驶，求船在行驶过程中离观测站A的最近距离解析(1)如图，AB80，AC60，BAC，sin.由于090，所以cos.由余弦定理得BC40，所以船的行驶速度为40海里/小时(2)在ABC中，由正弦定理得，sinABC60，自A作BC的垂线，交BC的延长线于D，则AD的长是船离观测站的最近距离在RtABD中，ADABsinABD8015(海里)，船在行驶过程中离
8、观测站A最近距离为15海里14(2010陕西理)如图A，B是海面上位于东西方向相距5(3)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45，B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？解析本题考查正余弦定理在实际问题中的应用，本题要结合图像确定恰当三角形进行边角的求解，求解过程中三角函数的变形，转化是易错点，注意运算的准确性由题意知AB5(3)海里，DBA906030，DAB45，ADB105在DAB中，由正弦定理得，DB10(海里)又DBCDBAABC30(9060)60，BC2
9、0(海里)，在DBC中，由余弦定理得CD2BD2BC22BDBCcosDBC300120021020900，CD30(海里)，则需要的时间t1(小时)答：救援船到达D点需要1小时点评：(1)解决实际应用问题，要过好语言关，图形关和数理关，考生在平时训练中要注意加强(2)本题若认定DBC为直角三角形，由勾股定理正确求得CD，同样可以15(2010福建文)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小里的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小船沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇(
10、1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值(3)是否存在v，使得小艇以v海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v的取值范围；若不存在，请说明理由解析本小题主要考查解三角形，二次函数等基础知识，考查推理论证能力，抽象概括能力，运算求解能力，应用意识，考查函数与方程思想，数形结合思想，化归与转化思想(1)设相遇时小艇的航行距离为S海里，则S故当t时，Smin10，v30.即小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小(2)设小艇与轮船在B处相遇由题意可得：(vt)2202(30t)222030tcos(9030)化简得：v2900400()2675由00)，于是400u2600u900v20(*)小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇，等价于方程(*)应有两个不等正根，即：解得15v0时，可得4m2cosx对一切实数x都成立，4m
