《2011年高考数学总复习系列 新人教版必修五》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2011年高考数学总复习系列 新人教版必修五(17页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、2011年高考数学总复习系列高中数学必修五第一章 解三角形一、基础知识【理解去记】在本章中约定用A,B,C分别表示ABC的三个内角,a, b, c分别表示它们所对的各边长,为半周长。1正弦定理:=2R(R为ABC外接圆半径)。推论1:ABC的面积为SABC=推论2:在ABC中,有bcosC+ccosB=a.推论3:在ABC中,A+B=,解a满足,则a=A.正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到,这里不再给出,下证推论。先证推论1,由正弦函数定义,BC边上的高为bsinC,所以SABC=;再证推论2,因为B+C=-A,所以sin(B+C)=sinA,即sinBcosC+cosBsinC=sinA,
2、两边同乘以2R得bcosC+ccosB=a;再证推论4,由正弦定理,所以,即sinasin(-A)=sin(-a)sinA,等价于cos(-A+a)-cos(-A-a)= cos(-a+A)-cos(-a-A),等价于cos(-A+a)=cos(-a+A),因为0-A+a,-a+A. 所以只有-A+a=-a+A,所以a=A,得证。2余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA,下面用余弦定理证明几个常用的结论。(1)斯特瓦特定理【了解】:在ABC中,D是BC边上任意一点,BD=p,DC=q,则AD2= (1)【证明】 因为c2=AB2=AD2+BD2-2ADBDcos,所以c2=AD2+p2-2
3、ADpcos 同理b2=AD2+q2-2ADqcos, 因为ADB+ADC=,所以cosADB+cosADC=0,所以q+p得qc2+pb2=(p+q)AD2+pq(p+q),即AD2=注:在(1)式中,若p=q,则为中线长公式(2)海伦公式:因为b2c2sin2A=b2c2 (1-cos2A)= b2c2 (b+c)-a2a2-(b-c) 2=p(p-a)(p-b)(p-c).这里所以SABC=二、基础例题【必会】1面积法例1 (共线关系的张角公式)如图所示,从O点发出的三条射线满足,另外OP,OQ,OR的长分别为u, w, v,这里,+(0, ),则P,Q,R的共线的充要条件是【证明】P,
4、Q,R共线(+)=uwsin+vwsin,得证。2正弦定理的应用例2 如图所示,ABC内有一点P,使得BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB。求证:APBC=BPCA=CPAB。【证明】 过点P作PDBC,PEAC,PFAB,垂足分别为D,E,F,则P,D,C,E;P,E,A,F;P,D,B,F三组四点共圆,所以EDF=PDE+PDF=PCA+PBA=BPC-BAC。由题设及BPC+CPA+APB=3600可得BAC+CBA+ACB=1800。所以BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB=600。所以EDF=600,同理DEF=600,所以DEF是正三角形。所以DE=EF=DF,
5、由正弦定理,CDsinACB=APsinBAC=BPsinABC,两边同时乘以ABC的外接圆直径2R,得CPBA=APBC=BPAC,得证:例3 如图所示,ABC的各边分别与两圆O1,O2相切,直线GF与DE交于P,求证:PABC。【证明】 延长PA交GD于M,因为O1GBC,O2DBC,所以只需证由正弦定理,所以另一方面,所以,所以,所以PA/O1G,即PABC,得证。3一个常用的代换:在ABC中,记点A,B,C到内切圆的切线长分别为x, y, z,则a=y+z, b=z+x, c=x+y.例4 在ABC中,求证:a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) 3abc.【证明】
6、 令a=y+z, b=z+x, c=x+y,则abc=(x+y)(y+z)(z+x)=8xyz=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)=a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)-2abc.所以a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) 3abc.4三角换元。例5 设a, b, cR+,且abc+a+c=b,试求的最大值。【解】 由题设,令a=tan, c=tan, b=tan,则tan=tan(+), P=2sinsin(2+)+3cos2,当且仅当+=,sin=,即a=时,Pmax=例6 在ABC中,若a+b+c=1,求证: a2+b2+c2+4abc【
7、证明】 设a=sin2cos2, b=cos2cos2, c=sin2, .因为a, b, c为三边长,所以c|a-b|,从而,所以sin2|cos2cos2|.因为1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca),所以a2+b2+c2+4abc=1-2(ab+bc+ca-2abc).又ab+bc+ca-2abc=c(a+b)+ab(1-2c)=sin2cos2+sin2cos2cos4cos2=1-cos22+(1-cos22)cos4cos2=+cos2(cos4-cos22cos4-cos2)+cos2(cos4-sin4-cos2)=.所以a2+b2+c2+4abc1时,
8、an=Sn-Sn-1.定义2 等差数列,如果对任意的正整数n,都有an+1-an=d(常数),则an称为等差数列,d叫做公差。若三个数a, b, c成等差数列,即2b=a+c,则称b为a和c的等差中项,若公差为d, 则a=b-d, c=b+d.定理2 *【必考】等差数列的性质:1)通项公式an=a1+(n-1)d;2)前n项和公式:Sn=;3)an-am=(n-m)d,其中n, m为正整数;4)若n+m=p+q,则an+am=ap+aq;5)对任意正整数p, q,恒有ap-aq=(p-q)(a2-a1);6)若A,B至少有一个不为零,则an是等差数列的充要条件是Sn=An2+Bn.定义3 等比
9、数列,若对任意的正整数n,都有,则an称为等比数列,q叫做公比。定理3 *【必考】等比数列的性质:1)an=a1qn-1;2)前n项和Sn,当q1时,Sn=;当q=1时,Sn=na1;3)如果a, b, c成等比数列,即b2=ac(b0),则b叫做a, c的等比中项;4)若m+n=p+q,则aman=apaq。定义4 极限,给定数列an和实数A,若对任意的0,存在M,对任意的nM(nN),都有|an-A|,则称A为n+时数列an的极限,记作定义5 无穷递缩等比数列,若等比数列an的公比q满足|q|1,则称之为无穷递增等比数列,其前n项和Sn的极限(即其所有项的和)为(由极限的定义可得)。定理4
10、 数学归纳法:给定命题p(n),若:(1)p(n0)成立;(2)当p(n)时n=k成立时能推出p(n)对n=k+1成立,则由(1),(2)可得命题p(n)对一切自然数nn0成立。【补充知识点】定理5 第二数学归纳法:给定命题p(n),若:(1)p(n0)成立;(2)当p(n)对一切nk的自然数n都成立时(kn0)可推出p(k+1)成立,则由(1),(2)可得命题p(n)对一切自然数nn0成立。定理6 对于齐次二阶线性递归数列xn=axn-1+bxn-2,设它的特征方程x2=ax+b的两个根为,:(1)若,则xn=c1an-1+c2n-1,其中c1, c2由初始条件x1, x2的值确定;(2)若
11、=,则xn=(c1n+c2) n-1,其中c1, c2的值由x1, x2的值确定。二、基础例题【必会】1不完全归纳法。这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律,当然结论未必都是正确的,但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为:特殊猜想数学归纳法证明。例1 试给出以下几个数列的通项(不要求证明);1)0,3,8,15,24,35,;2)1,5,19,65,;3)-1,0,3,8,15,。【解】1)an=n2-1;2)an=3n-2n;3)an=n2-2n.例2 已知数列an满足a1=,a1+a2+an=n2an, n1,求通项an.【解】 因为a1=,又a1+a2=22a2,所以a2=,a3=,猜想(n1).证明;1)当n=1时,a1=,猜想正确。2)假设当nk时猜想成立。当n=k+1时,由归纳假设及题设,a1+ a1+a1=(k+1)2-1 ak+1,,所以=k(k+2)ak+1, 即=k(k+2)ak+1,所以=k(k+2)ak+1,所以ak+1=由数学归纳法可得猜想成立,所以例3 设0a1.【证明】 证明更强的结论:1a