《2011年高考一轮数学复习 6-6不等式的综合应用 理 同步练习（名师解析）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2011年高考一轮数学复习 6-6不等式的综合应用 理 同步练习（名师解析）（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第6章 第6节 知能训练提升考点一：不等式在函数中的应用1定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x4)，当x2时，f(x)单调递增，如果x1x24且(x12)(x22)0，则f(x1)f(x2)的值()A恒小于0B恒大于0C可能为0 D可正可负解析：由x1x24且(x12)(x22)0，不妨设x12，x22，则有2x14x2.因为当x2时f(x)单调递增，所以f(x1)f(4x2)，即f(x1)f(x24)0，即f(x1)f(x2)0.答案：A2(2010郑州调研)已知f(x)是定义在1,1上的奇函数，且f(1)1，若m、n1,1，mn0时，0.(1)用定义证明f(x)在1,1上是增函数；(
2、2)解不等式f(x)f()；(3)若f(x)t22at1对所有x1,1，a1,1恒成立，求实数t的取值范围解：(1)证明：任取x1x2，且x1，x21,1，则f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)(x1x2)1x1x21，x1(x2)0.由已知0.又x1x20，f(x1)f(x2)0，即f(x)在1,1上为增函数(2)f(x)在1,1上为增函数解得|x|x1，xR(3)由(1)可知f(x)在1,1上为增函数，且f(1)1，故对x1,1，恒有f(x)1，所以要使f(x)t22at1对所有x1,1，a1,1恒成立，即要t22at11成立，故t22at0.记g(a)t22at，对a1,1，有g(a
3、)0，只需g(a)在1,1上的最小值大于等于0，g(1)0，g(1)0，解得t2或t0或t2.t的取值范围是t|t2或t0或t2考点二：不等式在数列中的应用3已知a，b，ab成等差数列，a，b，ab成等比数列，且0logm(ab)1，则m的取值范围是()A(0,1)B(1，)C(0,8)D(8，)解析：a，b，ab成等差数列2b2ab，b2a.a，b，ab成等比数列，a0，b0，且b2a2b，ba2.由知a22a，a2，b4，ab8.0logm(ab)logm81，m8.答案：D4(2010湖南联考)设正项数列an的前n项和为Sn，q为非零常数已知对任意正整数n，m，当nm时，SnSmqmSn
4、m总成立(1)求证：数列an是等比数列；(2)若正整数n，m，k成等差数列，求证：.证明：(1)因为对任意正整数n，m，当nm时，SnSmqmSnm总成立，所以当n2时，SnSn1qn1S1，即ana1qn1，且a1也适合，又an0，故当n2时，q(非零常数)，即数列an是等比数列(2)若q1，则Snna1，Smma1，Skka1.所以.若q1，则Sn，Sm，Sk.所以22.又因为(1qn)(1qk)1(qnqk)qnk12qnk12qmq2m(1qm)2.所以222综上可知：若正整数n，m，k成等差数列，不等式总成立，当且仅当nmk时取“”考点三：利用不等式求最值5如图，在ABC中，C90，
5、ACBCm(定值)，将图形沿AB的垂直平分线折叠，使点A落在点B上，求图形未被遮盖(阴影部分)的面积的最大值解：设BCa，CDb，则ACCDADCDBDb.mab(定值)ab2，当且仅当ab时两式同时取“”，m(2)abm2.SBCDab，SBCD的最大值为m2.此时abm.6为了竖一块广告牌，要制造三角形支架三角形支架如右图，要求ACB60，BC长度大于1米，且AC比AB长0.5米，为了广告牌稳固，要AC的长度越短越好，求AC最短为多少米？且当AC最短时，BC长度为多少米？解：设BCa(a1)，ABc，ACb，bc.c2a2b22abcos60，将cb代入得(b)2a2b2ab，化简得b(a
6、1)a2.a1，a10.b(a1)22.当且仅当a1时，取“”，即a1时，b有最小值2.考点四：不等式在解析几何中的应用7设直线l：yk(x1)(k0)与椭圆x23y2a2(a0)相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点(1)证明：a2；(2)若2，求OAB的面积取得最大值时的椭圆方程解：(1)证明：k0，yk(x1)可化为xy1，代入x23y2a2，消去x可得(3)y2y1a20由直线l与椭圆相交于两个不同的点，可得4(3)(1a2)0，整理可得(3)a23，即a2.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由可得y1y2，由2可得y12y2，代入上式可得y2.于是OAB
7、的面积S|OC|y1y2|y2|.其中，上式取等号的条件是：3k21，即k，由y2可得y2或y2，将k，y2及k，y2代入可得a25，所以OAB的面积取得最大值时的椭圆方程为x23y25.8如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1、F2在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA1|A1F1|21.若直线l1为xm(|m|1)，P为l1上的动点，使F1PF2最大的点P记为Q，求点Q的坐标(用 m表示)解：设椭圆方程为1(ab0)，半焦距为c，则|MA1|a，|A1F1|ac，由题意，得a2，b，c1.故椭圆方程为1.设P(m，y0)，|m|1，当y00时，F1PF20，当y
8、00时，0F1PF2PF1M.只需求tanF1PF2的最大值即可设直线PF1的斜率k1，直线PF2的斜率k2，tanF1PF2|.当且仅当|y0|时，F1PF2最大，Q(m，)，|m|1.1.(2008江西)已知函数f(x)2mx22(4m)x1，g(x)mx，若对于任一实数x，f(x)与g(x)的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是()A(0,2)B(0,8)C(2,8) D(，0)解析：(1)当m0时，则f(x)只能保证有限的区段为正值，因此不能满足题意(2)当m0时，则g(x)mx图象在而f(x)开口向上且过(0,1)点，当对称轴x在y轴右侧时成立，有0，0m4.当0时成立，求有4(
9、m2)(m8)0，2m8.综上有0m8时成立答案：B2(2009重庆)不等式|x3|x1|a23a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为()A(，14，)B(，25，)C1,2D(，12，)解析：先求函数y|x3|x1|的最大值ymax，由绝对值的几何意义知坐标轴上一动点P(x,0)到定点A(3,0)，B(1,0)距离差的最大值为4，所以ymax4，只需a23a4即可，得a(，14，)故选A.答案：A3(2009湖南)对于数列un，若存在常数M0，对任意的nN*，恒有|un1un|unun1|u2u1|M，则称数列un为B数列(1)首项为1，公比为q(|q|1)的等比数列是否为B数列？请说明
10、理由；(2)设Sn是数列xn的前n项和给出下列两组论断：A组：数列xn是B数列，数列xn不是B数列；B组：数列Sn是B数列，数列Sn不是B数列请以其中一组中的一个论断为条件另一组中的一个论断为结论组成一个命题判断所给命题的真命题，并证明你的结论；(3)若数列an、bn都是B数列证明：数列anbn也是B数列解：(1)设满足题设的等比数列为an，则anqn1，于是|anan1|qn1qn2|q|n2|q1|，n2.因此|an1an|anan1|a2a1|q1|(1|q|q|2|q|n1)因为|q|1，所以1|q|q|2|q|n1，即|an1an|anan1|a2a1|.故首项为1，公比为q(|q|
11、1)的等比数列是B数列(2)命题1：若数列xn是B数列，则数列|Sn|是B数列此命题为假命题事实上，设xn1，nN*，易知数列xn是B数列，但Snn，|Sn1Sn|SnSn1|S2S1|n.由n的任意性知，数列Sn不是B数列命题2：若数列Sn是B数列，则数列xn是B数列此命题为真命题事实上，因为数列Sn是B数列，所以存在正数M，对任意的nN*，有|Sn1Sn|SnSn1|S2S1|M，即|xn1|xn|x2|M，于是|xn1xn|xnxn1|x2x1|xn1|2|xn|2|xn1|2|x2|x1|2M|x1|，所以数列xn是B数列(3)若数列an、bn是B数列，则存在正数M1、M2，对任意的n
12、N*，有|an1an|anan1|a2a1|M1；|bn1bn|bnbn1|b2b1|M2.注意到|an|anan1an1an2a2a1|anan1|an1an2|a2a1|a1|M1|a1|.同理，|bn|M2|b1|.记K1M1|a1|，K2M2|b1|，则有|an1bn1anbn|an1bn1anbn1anbn1anbn|bn1|an1an|an|bn1bn|K2|an1an|K1|bn1bn|.因此|an1bn1anbn|anbnan1bn1|a2b2a1b1|K2(|an1an|anan1|a2a1|)K1(|bn1bn|bnbn1|b2b1|)K2M1K1M2，故数列anbn是B数列4(2009辽宁)已知函数f(x)x2ax(a1)1nX，a1.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)证明：若a5，则对任意x1，x2
