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1、单元3（5-7）用三种方式表示二次函数,何时获得最大利润,最大面积是多少.典型例题分析例1如图,在矩形ABCD中,AB=6厘米,BC=12厘米,点P从A出发,沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动,同时Q从点B出发沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动.如果P,Q两点在分别到达B,C两点后就停止移动,回答下列问题:(1) 运动开始后第几秒钟时,PBQ的面积等于8平方厘米?(2) 设运动开始后第T秒钟时,五边形APQCD的面积为S平方厘米,写出S与T的函数关系式,并指出自变量T的取值范围;(3) T为何值时,S最小?求出S的最小值. 点拨:观察图形有两点是显然但绝不能忽视的,一个是PBQ的面积与五边
2、形PQCDA的面积之和为定值(矩形ABCD的面积),另一个是PBQ在变化过程中始终为直角三角形,即S=PBBQ为不变函数关系.解:设P,Q两点的运动时间为t秒,依题意PB=AB-AP=6-t,BQ=2t. S=(6-t)2t=t(6-t).(1) t(6-t)=8,解得t=2,t=4; (2) S=ABBC-S=72-t(6-t)= -6t+72(0t6);(3) 配方,得S= +63.当t=3时,S最小=63答(1)运动开始2秒和4秒时,S=8.(2)S与t的函数关系为S=-6t+72,0t6.当t=3时,S最小,最小为63.例2：某瓜果基地市场部为指导该基地某种蔬菜的生产和销售,在对历年市
3、场行情和生产情况调查的基础上,对今年这种蔬菜上市后的市场售价和生产成本进行了预测,提供了两个方面的的信息,如图甲、乙。注:甲,乙两图中的每个实心黑点所对应的纵坐标分别指相应月份的售价和成本,生产成本6月份最低,乙图的图象是抛物线. 甲图 乙图请你根据图象提供的信息说明:(1) 在3月份出售这种蔬菜,每千克的收益是多少元?(收益=售价-成本)(2) 哪个月出售这种蔬菜,每千克的收益最大?说明理由.点拨(1)由图甲可知,3月份出售这种蔬菜,每千克价格为5元,由图乙可知,3月份这种蔬菜的成本价为每千克4元.故可轻松解决;在中可借助图甲、图乙确定出售价、成本价与月份的关系式，将两表达式相减，即为每千克
4、这种蔬菜的收益是多少，再借助二次函数最值求法，则可解决问题。 解 ： 由图甲知，3月份这种蔬菜的售价为5元，由图乙知，3月份这种蔬菜的成本价为4元，故3月份这种蔬菜的收益为每千克1元；设图甲中线段的表达式为Y甲=kx+b，由图象可知，点（3，5）和（6，3）在y甲=kx+b上，故有解得 故.又图乙中图象是一条抛物线段,故,可设其表达式为.由图乙知,其顶点坐标为(6,1),且点(3,4)在抛物线段上故有解得从而每千克这种蔬菜的收益为【例3】 如图甲所示,公园要建造圆形的喷水池,在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,O恰好在水面中心,OA=1.25m.由柱子顶端A处的喷头向处喷水,水流在各个方向
5、形状相同的抛物线路线落下,为了使水流形状较为漂亮,要求设计成水流在离OA 距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.如果不计其他因素,那么水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水流落不到池外?若水流喷出的抛物线的形状与相同,水池的半径为3.5m ,要使水流不落到池外,此时水流最大高度应达多少米(精确到0.1m)(提示:可建立如下坐标系:以OA 所在的直线为y轴,过O点垂直于OA的直线为x轴,点O为原点.)点拨:此题的解题关键在于如何建立合适的坐标系,使得我们要求的数据在坐标系内成为一些特殊点,而不是抛物线上的任意三点.解 ： 如图乙,以OA所在的直线为y轴,过O 点垂直于OA的直线为x,点O 为
6、原点建立坐标系,设最高点为B,抛物线状水流在水面上的点为点C,则依题意,O(0,0),A(0,1.25),顶点B（，）（，）设抛物线为,把A点坐标代入得:1.25=,水流所经历的路线解析式为(X0)则C点坐标为:0=,(2.5,0)为水池边缘的点水池半径至少要2.5米.(2) 水池喷出的抛物线的形状与(1)相同, 设抛物线为(0,1.25),C(3.5,0)代入,得:基础训练一、选择题（本大题共5小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请将此项的标号填在括号内）1、二次函数取最小值时，自变量x的值是 （ ）A、2 B、-2 C、1 D、-12、已知点的关系为 （ ）A、 B、 C
7、、 D、3、若两数x与y的和为12，则 A、x=1,y=11时，xy最小 B、x=2,y=10时，x y最大、x=3 y=9时, xy最大、x=6,y=6时，xy最大、 （ ）、a0,0 B、a0, 0C、a0, 0 D、a0,05、如图所示，在一个直角三角形的内部作一个长方形，其中和分别在两直角边上，设xm，长方形的面积为,要使长方形的面积最大，其边长x应为（）、m C、15m D、二、填空题（本大题共5小题，请把正确答案填在题中的横线上）6. 7、 时，梯形面积最大，是 8、 9、X-2-10123y则这个二次函数的解析式为 10、的面积为 三、解答题（本大题共5小题，解答应写出必要的文字
8、说明或演算步骤）11. 已知一个矩形的周长是cm。写出矩形面积（cm2）与一边长a(cm)的函数关系式；用表格表示：a1234567891012-aS(3)用图象表示：根据以上三种表示回答下列问题： 自变量a的取值范围是什么？ 图象的对称轴和顶点坐标分别是什么？ 如何描述随a的变化而变化的情况？12、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现每件售价每降低元，商场平均每天可多售出件。若商场平均每天要盈利元，每件衬衫应降价多少元？每件衬衫降价多少元，商场平均每天盈利最多？13、某旅社有客房间，每间房日租金为元，每
9、天都客满，旅社装修后要提高租金，经市场调查，如果一间客房的日租金每增加元，则客房每天出租会减少间。不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少时，客房日租金的总收入最高？比装修前的日租金总收入增加多少元？14、某家具厂有一种如图所示的木板余料，已知24cm,BC边上的高16cm，现在要这种余料上截出一块矩形木板，使、在上，、分别在、上。设矩形的一边xcm,那么边的长度如何表示？设矩形的面积为ycm2,当x为何值时，y的值最大？最大值是多少？15、如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行 的水平距离为2.5米时，达到最大高度为3.5米,然后准确落入篮圈,已知篮圈
10、中心到地面的距离为3.05米.建立如图所示的直角坐标系,求抛物线的解析式;该运动员身高1.8米,在这次跳投中,球在头顶上方0.25米处出手,问:球出手时,他跳离地面的高度是多少:能力提高一、选择题（本大题共5小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请将此项的标号填在括号内）1、 （ ）A、最大值1 B、最大值10 C、最小值-8 D、最小值-102、 （ ）A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 2题3、已知M、N两点，关于轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线上，设点M的坐标为，则二次函数 （ ）。A有最小值且最小值是 B有最大值，且最小值是 C有最大值，且最大值
11、是 D有最小值，且最小值是4无论M为任何实数，二次函数的图象一定经过的点是（ ）A （-1，0） B （1，0） C （-1，3） D（1，3）二、填空题（本大题共5小题，请把正确答案填在题中的横线上）5. 若抛物线的最高点为（-1，-3），则 ，c= 6 炮弹从炮口射出后，飞行高度与飞行时间之间的函数关系式是，其中是炮弹发射的初速度，是炮弹的发射角，当 时该炮弹飞行的最大高度是 7某产品进货单价为90元，按100元一个售出时，能售出500个，如果这种产品每涨价1元，其销售额就减少10个，为了获得最大利润，其单价应定为 。8如图，用12米长的木条，做一个有一条横木的矩形窗子，为使透进的光线最多
12、，选择窗子的高为 米，宽为 米。三、解答题（本大题共5小题，解答应写出必要的文字说明或演算步骤）9. 有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20米，拱顶距离水面4米。在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式；在正常水位的基础上，当水位上升h米,桥下水面的宽度为d （米），试求出将d表示为h的函数解析式；设正常水位时桥下的水深为2米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18米，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行。xyo20米米4米正常水位10、 如图所示，正方形ABCD的边长为4，P是BC边上一动点，QPAP交到CD于Q11、有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定量的螃蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售
