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1、第4讲,简单的线性规划,1二元一次不等式表示的平面区域,(1)一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式 AxBy C0 表示直线 AxByC0 某一侧所有点组成的平面区域，不含 边界线不等式 AxByC0 所表示的平面区域包括边界线 (2)对于直线 AxByC0 同一侧的所有点(x，y)，使得 Ax ByC 的值的符号相同，也就是说位于同一平面区域内的点， 若其坐标适合 AxByC0，则位于另一个平面区域内的点，其 坐标适合 AxByC0.,(3)可在直线 AxByC0 某一侧任取一点，一般取特殊点 (x0，y0)如原点(0,0)，用 Ax0By0C 的值的正负来判断 AxBy C0(或 A
2、xByC0)所表示的区域,2线性规划,(1)线性约束条件：不等式组是一组对变量 x，y 的约束条件， 由于这组约束条件都是关于 x，y 的一次不等式，所以又可称其为 线性约束条件,(2)目标函数：zAxBy 是欲达到最大值或最小值所涉及的,变量 x，y 的解析式，我们把它称为目标函数,(3)线性目标函数：由于 zAxBy 是关于 x，y 的一次解析式，,所以又可叫做线性目标函数,(4)可行解：满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解， (5)可行域：由所有可行解组成的集合叫做可行域,(6)最优解：若可行解(x1，y1)和(x2，y2)分别使目标函数取得最,大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优
3、解,(7)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最,小值的问题，统称为线性规划问题,1不等式组,x3y60， xy20,表示的平面区域是(,),B,xy0，,2已知实数 x，y 满足 xy40， x1，,则 2xy 的最小值是,(,),B,A3,B2,C0,D1,xy10，,3若实数 x，y 满足 xy0， x0，,则 z3x2y 的最小值是,(,),B,A0,B1,C.,D9,2xy60，,4不等式组 xy30，,所表示的平面区域的面积为_.,y2 5若点(1,3)和点(4，2)在直线 2xym0 的两侧，则,m 的取值范围是_.,5m10,1,考点1,二元一次不等式(组)与平面区
4、域,例1：设集合 A(x，y)|x，y,1xy 是三角形的三边长，,则 A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是(,),解题思路：由三角形的三边关系(两边之和大于第三边)来确定 二元一次不等式组，然后求可行域,解析：由于 x，y,1xy 是三角形的三边长，,答案：A,易知A正确,由三角形的三边关系(两边之和大于第三边)来确 定二元一次不等式组，然后求可行域本题以三角形、集合为载 体来考查线性规划的问题，由于是选择题，只要找出正确的不等 式组并作出相应的直线即可看出答案,【互动探究】 xy50，,1若不等式组 ya， 0x2,表示的平面区域是一个三角,形，则 a 的取值范围是(,),C,Aa
5、5 C5a7,Ba7 Da5 或 a7,xy110，,2(2010 年北京)设不等式组 3xy30，,表示的平面区,5x3y90 域为 D，若指数函数 yax 的图象上存在区域 D 上的点，则 a 的取,),A,值范围是( A(1,3 C(1,2,B2,3 D3，),考点2 线性规划中求目标函数的最值问题,则 z2x3y 的最小值为(,),A17,B14,C5,D3,解析：作出不等式组表示的可行域，从图中不难观察当直线 z2x3y 过直线x1 与x3y2 的交点(1,1)时取得最小值， 所以最小值为5.,C,答案：B,线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域(即 几条直线围成的区域)，则区域端
6、点的值使目标函数取得最大或最 小值，求出直线交点坐标代入目标函数即可求出最值,图D8,【互动探究】 3(2011 年陕西)如图 541，点(x，y)在四边形 ABCD 内部,和边界上运动，那么 2xy 的最小值为_.,1,图 541 解析：目标函数z2xy，当x0 时，zy，所以当y 取 得最大值时，z 的值最小；移动直线2xy0，当直线移动到过点 A 时，y 最大，即z 的值最小，此时z2111.,考点3,线性规划在实际问题中的应用,例3：某家具厂有方木料 90 m，五合板 600 m，准备加工成书 桌和书橱出售，已知生产一张书桌需要方木料 0.1 m，五合板 2 m， 生产一个书橱需要方木
7、料 0.2 m，五合板 1 m，出售一张书桌可获 利润 80 元，出售一个书橱可获利润 120 元，如果只安排生产书桌， 可获利润多少？如果只安排生产书橱，可获利润多少？如何安排 生产可使所得利润最大？ 解题思路：找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域， 再利用图形直观求得满足题设的最优解,解析：(1)设只生产书桌x 张，可获利润 z 元，,所以当x300 时，zmax8030024 000(元) 即如果只安排生产书桌，最多可生产 300 张书桌，可获利润 24 000 元,(2)设只生产书橱 y 张，可获利润 z 元,所以当 y450 时，zmax12045054 000(元) 即如果只安
8、排生产书橱，最多可生产 450 张书橱，可获利润 54 000 元,(3)设生产书桌 x 张，生产书橱 y 张，可获总利润 z 元，,z80x120y. 在直角坐标平面内作出上面不等式组所 表示的平面区域，即可行域，如图542. 作直线l：80x120y0，,即直线2x3y0.,图542,根据已知条件写出不等式组是做题的第一步；第 二步画出可行域；第三步找出最优解,【互动探究】 4某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨、B 原料 2 吨；生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨、B 原料 3 吨销售每吨甲产品可获得利润 5 万元，每吨乙产品可获得利润 3 万元，该企业在
9、一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨，B 原,料不超过 18 吨，那么该企业可获得最大利润是(,),A12 万元 C25 万元,B20 万元 D27 万元,大，故本题即已知约束条件,解析：设甲、乙种两种产品各需生产x，y 吨，可使利润z 最 3xy13，,2x3y18， x0，,y0， 求目标函数z5x3y 的最大值，,如图D9，可求出最优解为,x3， y4.,故zmax151227.,图D9,答案：D,则的取,思想与方法 10用数形结合的思想求非线性目标函数的最值,y x,xy20， 例题：已知变量 x，y 满足约束条件 x1， xy70， 值范围是_,图543,1利用线性规划研究实
10、际问题的基本步骤是：,(1)应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线,性目标函数,(2)用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内,求得使目标函数取得最值的解,(3)还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，,即结合实际情况求得最优解,2求目标函数的最优整数解常有两种处理方法： (1)通过打出网格求整点，关键是作图要准确,(2)首先确定区域内点的横坐标范围，确定 x 的所有整数值， 再代回原不等式组，得出 y 的一元一次不等式组，再确定 y 的所 有相应整数值，即先固定 x，再用 x 制约 y.,3非线性规划问题，是指目标函数和约束函数中至少有一个 是非线性函数对于这
11、类问题的考查往住以求非线性目标函数最 值的方式出现,4线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界上取得,1在画不等式表示的平面区域时，一定要注意直线的虚实 当不等号是“”或“”，则边界线要画成实线；当不等号是 “”或“”，则边界线要画成虚线,2求线性目标函数 zaxby 的最值时，一定不要把 z 的最 值与直线在 y 轴上的截距的最值的关系混淆，它们有时一致，有 时相反，与 b 的正负有关,3对于实际问题要找足线性约束条件，若忽视某一条件，会 扩大可行域如果可行域是一个多边形，那么一般目标函数在某 顶点处取得最值，最优解一般一个特别地，当表示目标函数的 直线与可行域的某边平行时，其最优解可能有无数个对于实际 问题(如整点问题)，要特别对待,
