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1、黑龙江省大庆市第十中学2017-2018学年高二数学下学期第一次月考试题 理(时间:120分钟满分:150分)注意事项:1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第I卷(选择题)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.函数,其导数是,则的值为( )A: B: C: D:2.函数在处的切线方程是( )A: B: C: D:3.已知,则和的值分别是( )A: B: C: D:4.设函数可导,则=( )A: B:3 C: D:以上答案都不对5.直三棱柱中,若,则( )A: B: C: D:6.已知,则=( )A: B: C: D:7.函数,则( )A: 是
2、函数的极大值点 B:是函数的极小值点 C:是函数的极大值点 D:是函数的极小值点8正方体中,分别是的中点,则异面直线与所成角的余弦值是( )A: B: C: D:9.函数的导函数的图象如下图所示,则下列说法正确的是( )A:函数在上单调递增 B::函数的单调递减区间为 C:函数在处取得极大值 D:函数在处取得极小值(9题图) (11题图)10.若函数在区间内是减函数,则( )A: B: C: D:11. 如上图,以等腰直角三角形斜边上的高为折痕,把和折成互相垂直的两个平面后,某个学生得出下列四个结论,其中正确的是( );三棱锥是正三棱锥;平面的法向量与平面的法向量互相垂直;A: B: C: D
3、:12.函数的定义域为R,对,都有成立,则不等式的解集为( )A: B: C: D:第II卷(非选择题)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知向量, ,且与互相垂直,则_14. 在空间直角坐标系中,已知,若点在上,且,则点坐标是_15.曲线上的点到直线的最短距离是_16.函数在处有极大值,则的值为_三、解答题(本大题共6小题,共70分)17(10分)(1已知函数。(1)求曲线在点处的切线方程; (2)求函数的单调区间。18如图,在棱长为1的正方体中,点分别是的中点。(1)求证:; (2)求所成角的余弦值; (3)求的长。19(12分)已知函数。(1)求函数的单调区间; (
4、2)求函数的极值; (3)求函数在区间上的最大值与最小值。20(12分)如图,在四棱锥中,底面是正方形,侧棱底面,点是的中点,作交于点。(1)求证:平面; (2)求证:平面; (3)求二面角的大小21(12分)如图,在四棱锥中,平面平面,为的中点,且,。(1)求证:平面平面; (2)求二面角的余弦值; (3)在线段上是否存在点,使得平面?若存在,求出点的位置;若不存在,请说明理由。22(12分)已知函数。(1)讨论的单调性; (2)若,求的取值范围。答案1.B 2.B 3A 4.B 5.D6.B 7.A 8.D 9.D 10.C11.C 12.B13. 14. 15. 16617. 解:(1)
5、因为f(x)=x2-lnx , 所以f(x)=2x-所以f(1)=1又因为f(1)=1,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y-1=x-1即x-y=0(5分)(2)因为函数f(x)=2x2-lnx的定义域为(0,+),由f(x)=2x-0,得0x;所以函数f(x)=x2-lnx的单调递减区间是(0,),单调递增区间为(单调区间开、闭均给分)(10分)18.解:(1)因为,所以;.(4分)(2),所以)求所成角的余弦值为;.(8分)(3)。.(12分)(注:本题也可以采用直接证明、求解或建立空间直角坐标系的方法进行证明、求解)19.解:(1)的单调增区间为;单调减区间为(单调区间
6、开、闭均给分);.(4分)(2)当时,有极大值,极大值为;当时,有极小值,极小值为;.(8分)(3)由(1)知,函数在上单调递减,在区间上单调递增,且;,;因此,函数在上的最小值为,最大值为。.(12分)20解:如图建立空间直角坐标系,点D为坐标原点,设DC=1。(1)(注:可采用立体几何与向量两种方法证明。)下面给出一种使用空间向量的证明方法。连接AC,AC交BD于点G,连接EG。依题意得A(1,0,0),P(0,0,1),E(0,)。因为底面ABCD是正方形,所以点G是此正方形的中心,则G(),且,所以,即。而,且因此。.(4分)(2)(可采用立体几何与向量两种方法证明。)依题意得B(1,
7、1,0),所以。所以。由已知,所以平面。.(8分)(3)答:。已知,由(2)可知,故是二面角的平面角。设点F的坐标为(),则因为所以即。因为,所以所以。又因为,所以因为所以=,即二面角的大小为.(12分)21.解:(1)证明:由已知平面PAD平面ABCD,PAAD,且平面PAD平面ABCD=AD,所以PA平面ABCD所以PACD又因为BEAD,BECD,所以CDAD所以CD平面PAD因为CD平面PCD,所以平面PAD平面PCD(4分)(2)如图所示建立空间直角坐标系E-xyz,则点E(0,0,0),P(0,-2,2),A(0,-2,0),B(2,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0)所以
8、,设平面PBC的法向量为=(x,y,z),所以即令y=1,解得=(2,1,3)设平面PBE的法向量为=(a,b,c),所以即令b=1,解得=(0,1,1)所以cos=由图可知,二面角C-PB-E的余弦值为(8分)(3)“线段PE上存在点M,使得DM平面PBC”等价于“”因为,设,(0,1),则M(0,2-2,2-2),由(2)知平面PBC的法向量为=(2,1,3),所以解得所以线段PE上存在点M,即PE中点,使得DM平面PBC(12分)22. 解:(1)由f(x)=-ax2+lnx,得f(x)=-2ax+=(x0),当a0时,f(x)0,f(x)在(0,+)上为增函数;当a0时,由f(x)=0
9、,得=-0,=0,当x(0,)时,f(x)0,f(x)为增函数,当x()时,f(x)0,f(x)为减函数;(4分)(2)当a0时,若x(1,+),则f(x)+a=-ax2+lnx+a=a(1-x2)+lnx0,满足题意;当a0时,由(1)知,当,即a时,f(x)在(1,+)上为减函数,此时f(x) f(1)=-a,此时不满足条件;当,即0a时,f(x)在(1,)上为增函数,在(,+)上为减函数,此时=,由,得1+ln2a2a,令g(a)=1+ln2a-2a,则g(a)=,则g(a)在(0,)上为增函数,因为g(a)g()=0,即1+ln2a2a恒成立,所以此时0a综上,若x(1,+),使得f(x)-a,a的取值范围为a(12分)