《2013届高考数学一轮复习考案 3.2 等差数列课件 文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013届高考数学一轮复习考案 3.2 等差数列课件 文（36页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.2 等差数列,等差数列是一种特殊的数列,是本章知识的重点内容之一,复习时要 重点把握等差数列的定义、等差数列的性质、等差数列的通项公 式及变形、等差数列的前n项和Sn与最值等方面的问题,在新课标中, 强调创设具体的问题情境加强对等差数列知识的应用.同时指明了 等差数列与一次函数的关系,要加以重视.预测在2013年高考中,本节 知识可出现在填空题与选择题和综合题中,以考查等差数列的性质 为主,多为容易题,在解题中重点考查等差数列的概念及其中包含的 函数与方程、化归与转化等思想方法.与函数、不等式、解析几何,等知识综合考查时,多为中档难题,复习中一定要认真对待,注重基础.,1.等差数列的概念,
2、若数列an从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数, 则数列an叫等差数列.这个常数叫等差数列的公差,常用字母d表 示,定义的数学表达式为an-1-an=d(nN*).,2.等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d,推广:an=am+(n-m)d,变式:a1=an-(n-1)d,d= = .,3.等差中项:若a、b、c成等差数列,则b称a与c的等差中项,且b= , a、b、c成等差数列是2b=a+c的充要条件.,4.等差数列的前n项和Sn,Sn= =na1+ d=nan- (n-1)nd,变式: = = =a1+(n-1) =an+(n-1)(- ).,5.等差数列的性质,(1)若m
3、、n、p、qN*,且m+n=p+q,则对于等差数列有等式am+an=ap+ aq;,(2)序号成等差数列的项依原序构成的数列,则新数列成等差数列;,(3)Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,成等差数列;,(4) 也是一个等差数列;,(5)在等差数列an中,若项数为2n,则S偶-S奇=nd;若项数为2n-1,则S奇= nan,S偶=(n-1)an;,(6)等差数列的增减性:,d0时为递增数列,且当a10时,前n项和Sn有最小值;,d0时,前n项和Sn有最大值.,(7)设数列是等差数列,且公差为d,若项数为偶数,设共有2n项,则S偶 -S奇=nd; = ;,若项数为奇数,设共有2n-1项,则S奇-
4、S偶=an=a中; = .,1.已知数列an中,an+1=an+ 且a1=2,则a2011等于 ( ),(A)1005. (B)1006. (C)1007. (D)1008.,【解析】由题意知,an+1-an= ,an是等差数列,a2011=2+(2011-1) =1007.,【答案】C,2.(2011年宁夏银川一中质检)已知数列an为等差数列且a1+a7+a13=4 ,则tan(a2+a12)的值为 ( ),(A) . (B) .,(C)- . (D)- .,【解析】由等差数列的性质可知,3a7=4,a7= ,tan(a2+a12)=tan(2a7)=tan =- .,【答案】D,3.(20
5、11年惠州市二模)已知等差数列an中,a2=6,a5=15,若bn=a3n,则数 列bn的前9项和= .,【解析】由 所以an=3+3(n-1)=3n,bn=a3n=9n,数 列bn的前9项和为S9= 9=405.,【答案】405,4.已知等差数列的前n项和为Sn,若a4=18-a5,则S8= .,【解析】由已知可知a4+a5=18,S8= =4(a4+a5)=72.,【答案】72,题型1五个基本量的有关计算,例1 (1)(2011年重庆卷)在等差数列an中,a2=2,a3=4,则a10等于 ( ),(A)12. (B)14. (C)16. (D)18.,(2)设Sn为等差数列an的前n项和,
6、若S3=3,S6=24,则a9= .,(3)(云南省2011届高三数学一轮复习测试)等差数列an、bn的前n 项和分别为Sn、Tn,且 = ,则使得 为整数的正整数n的个数是 ( ),(A)3. (B)4. (C)5. (D)6.,【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和Sn的公式,找到a1,an, d,Sn,n五个量之间的关系,合理利用公式,有效快速地解方程.,【解析】(1)d=a3-a2=4-2=2,a10=a2+8d=2+82=18,故选D.,(2) 解得 a9=a1+8d=15.故填15.,(3)因为 = , = = ,又 = = = =7+ ,只有n-2=1,3,11,33时, 才
7、为正整数.所以命题成立的n有4个.,【答案】(1)D (2)15 (3)B,【点评】有关等差数列的计算问题常涉及五个元素:首项a1、公差d 、通项an、项数n、前n项和Sn,其中a1和d是确定等差数列的两个基 本元素,只要把它们求出,其余的元素便可以求出,但有时单一的用方 程的思想解题,所需的运算量大且运算繁琐,所以,解题时应具体分析 题意,寻求较简捷的方法,从而起到事半功倍的效果.,变式训练1 (1)(2011年江西卷)设an为等差数列,公差d=-2,Sn为其 前n项和.若S10=S11,则a1等于 ( ),(A)18. (B)20. (C)22. (D)24.,(2)(2011年湖南卷)设
8、Sn是等差数列an(nN*)的前n项和,且a1=1,a4= 7,则S5= .,(3)已知数列an为等差数列,Sn为其前n项和,a7-a5=4,a11=21,Sk=9,则k= .,【解析】(1)S10=S11,a11=S11-S10=0,a11=a1+10d=a1-20=0,a1=20.,(2)3d=a4-a1=7-1=6,d=2,S5=5a1+ d=25.,(3)a7-a5=2d=4,d=2,a1=a11-10d=21-20=1,Sk=k+ 2=k2=9,又kN*, 故k=3.,【答案】(1)B (2)25 (3)3,例2 (1)(2011年重庆卷)在等差数列an中,a3+a7=37,则a2+
9、a4+a6 +a8= .,题型2等差数列性质的应用,(2)在等差数列an中,a6=a3+a8,则S9等于 ( ),(A)0. (B)1.,(C)-1. (D)以上都不对.,【分析】(1)由若m,n,p,qN*,且m+n=p+q,则am+an=ap+aq成立来求解 即可.,(2)由(1)同样的性质可知,a5+a6=a3+a8成立,可得a5,由S9=9a5可得.,【解析】(1)a2+a8=a4+a6=a3+a7=37,故a2+a4+a6+a8=237=74.,(2)a3+a8=a5+a6=a6,a5=0,S9=9a5=0.,【答案】(1)74 (2)A,【点评】“巧用性质,减少运算量”在等差数列的
10、计算中非常的重 要,利用等差数列的性质解题,一定要从等差数列的本质特征入手去 思考、分析题意,才能做到事半功倍.,变式训练2 (1)(2011年山东临沂质检)在等差数列an中,若a2+a4+a6 +a8+a10=80,则a7- a8的值为 ( ),(A)4. (B)6. (C)8. (D)10.,(2)(2011年辽宁卷)Sn为等差数列an的前n项和,S2=S6,a4=1,a5= .,【解析】(1)性质若m,n,p,qN*且m+n=p+q,则am+an=ap+aq可知a2+a10= a4+a8=2a6,a6=16,a7- a8= = = a6=8.,(2)S2=S6,a3+a4+a5+a6=0
11、,由性质可知,a4+a5=0,a4=1,a5=-1.,【答案】(1)C (2)-1,题型3等差数列的判定或证明,例3 (2011年全国卷)设数列an满足a1=0且 - =1.,(1)求an的通项公式;,(2)设bn= ,Sn= bk,证明Sn1.,【分析】抓住等差数列的定义,学会判断或证明等差数列的方法,并 且对于(2)中的求和可以利用裂项相消法求数列的和.,【解析】(1)由 - =1.得 为等差数列,首项为 =1,d=1,于是 =1+(n-1)1=n,1-an= ,an=1- .,(2)bn= = = = - ,Sn= bk=( - )+( - )+( - )=1- 1.命题成立.,【点评】
12、等差数列的定义是判定或证明一个数列为等差数列的基 本方法之一,利用它解题时务必注意式子an-1-an=d的要求是对于任意 n2的正整数成立.,变式训练3 在数列an中,a1=1,an+1=2an+2n.设bn= ,证明:数列bn 是等差数列.,【解析】an+1=2an+2n, = +1, - =1,由等差数列的定义可知,数列 是以1为首项,以1为公差的等差 数列,即数列bn是等差数列.,例4 (1)设等差数列an的前n项和为Sn,若a1=-15,a4+a6=-6,则当 Sn取最小值时,n等于 ( ),(A)5. (B)7. (C)5或6. (D)6或7.,题型4等差数列前n项和Sn的最值,(2
13、)(2011年广东卷)等差数列 前9项的和等于前4项的和.若a1=1,ak +a4=0,则k= .,【分析】利用等差数列的函数特征可知,等差数列为单调数列,关键 要由公差的正负来决定.或由等差数列的前n项和Sn的二次函数特性 可知.,【解析】(1)设该数列的公差为d,则a4+a6=2a1+8d=2(-15)+8d=-6,解 得d=3,令an=-15+3(n-1)0得n6,故选C.,(2)(法一)由题意可知,S9=S4,a5+a6+a7+a8+a9=0,由等差数列的性质可知,a5+a6+a7+a8+a9=5a7=0,a7=0,同理由性质可知:2a7=0=ak+a4,k=10.,(法二)由题得,d
14、=- ,k=10.,【答案】(1)C (2)10,【点评】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用,考 查二次函数最值的求法及计算能力.,变式训练4 (1)(2011年长沙模拟)若an是等差数列,首项a10,a2003+ a20040,a2003a20040成立的最大的自然数n 是 ( ),(A)4005. (B)4006. (C)4007. (D)4008.,(2)(2011年温州模拟)已知等差数列an中,公差d0,a2009,a2010是方程x2- 3x-5=0的两个根,那么使得前n项和Sn为负值且绝对值最大的n的值是 .,【解析】(1)由等差数列的一次函数特性可知,等差数列是单调
15、数列, 由已知可知,a20030,a20040;S 4007= =4007a20040成立的最大的自然数n是4006.,(2)由根与系数的关系可知,a2009+a2010=30;a2009a2010=-50,a20090;a2009是最后一个负项,前2009项的和为最小即为Sn 绝对值的最大值时n=2009.,【答案】(1)B (2)2009,1.要熟练应用通项公式及其变形公式.,2.要熟用和活用等差数列的中项公式及其推广.,3.等差数列的判定方法有:(1)定义法;(2)中项公式法;(3)通项公式法; (4)前n项和公式法;,4.重视从一般到特殊和从特殊到一般以及函数与方程等数学思想在 数列问题中的应用.,5.等差数列的性质可以大大简化解题过程.,6.注
