《2014届高三数学总复习 （回顾+突破+巩固+提升作业） 第三章 第七节 正弦定理和余弦定理课件 文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2014届高三数学总复习 （回顾+突破+巩固+提升作业） 第三章 第七节 正弦定理和余弦定理课件 文（60页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第七节 正弦定理和余弦定理,正弦定理与余弦定理,b2+c2-2bccos A,c2+a2-2cacos B,a2+b2-2abcos C,2Rsin A,2Rsin B,2Rsin C,abc,判断下面结论是否正确（请在括号中打“”或“”）. （1）在ABC中，AB必有sin Asin B.( ) （2）正弦定理对直角三角形不成立.( ) （3）在ABC中共有三个角、三个边六个量，可以已知三个量求另外三个量.( ) （4）余弦定理对任意三角形均成立.( ) （5）正弦定理可以实现边角互化，但余弦定理不可以.( ),【解析】(1)正确. 由正弦定理可得 又sin B0, sin Asin B.
2、（2）错误.正弦定理对任意三角形均成立. （3）错误.当已知三个角时不能求三边. （4）正确.由余弦定理推导过程可知对任意三角形均适用. （5）错误.余弦定理可以实现角化边，也能实现边化角. 答案：（1） （2） （3） （4） （5）,1.在ABC中，a=3,A=30,B=60，则b等于( ) 【解析】选A.由正弦定理得,2.在ABC中， 则边c等于( ) 【解析】选B.由余弦定理得 c=2.,3.ABC满足acos B=bcos A，则ABC的形状为( ) (A)直角三角形 (B)等边三角形 (C)等腰三角形 (D)等腰直角三角形,【解析】选C.由acos B=bcos A及正弦定理得，
3、sin Acos B=sin Bcos A， 即sin Acos B-cos Asin B=0, 故sin(A-B)=0. A,B为ABC的内角， A-B=0，A=B, 所以ABC是等腰三角形.,4.在ABC中，B30，C120，则abc_. 【解析】A1803012030， 由正弦定理得， 答案：,5.在ABC中，已知a2b2bcc2，则角A等于_. 【解析】由已知得b2c2a2bc， 又 答案：,考向1 正弦定理的应用 【典例1】（1）（2013唐山模拟）在ABC中, 则B=( ) （2）（2013惠阳模拟）已知a,b,c分别是ABC的三个内角 A,B,C所对的边，若 则sin C等于(
4、),（3）（2013西安模拟）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c. 若 求A的值； 若 求sin C的值. 【思路点拨】（1）利用正弦定理求解即可. （2）先求出B，再利用正弦定理求A，进而得sin C. （3）利用两角和的正弦公式化为特殊角的三角函数值； 利用正弦定理及同角三角函数关系式求解.,【规范解答】（1）选C.由正弦定理可得, 又 或 （2）选A.由A+C=2B且A+B+C=得 由正弦定理 得 又ab,AB,sin C=1. (3)因为 所以 又,因为 所以 在ABC中，由正弦定理得 3sin C=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C 解得 又s
5、in2C+cos2C=1, sin2C+8sin2C=1, 又,【互动探究】在本例（2）中，若条件不变，将结论“则sin C 等于”改为“则ABC的面积等于”，则结果如何？ 【解析】选C.由例（2）知 故ABC为直角三角形，所以,【拓展提升】 1.已知两边和其中一边的对角时解三角形的情况 已知两边和其中一边的对角,解三角形时,注意解的情况.如已知a,b,A,则有两解、一解、无解三种情况.,2.解三角形中的常用公式和结论 （1）A+B+C=. （2） sin(A+B)=sin C，cos(A+B)=-cos C， tan（A+B）=-tan C. （3）三角形中等边对等角,大边对大角,反之亦然;
6、三角形中任 意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.,【变式备选】（2013岳阳模拟）如图, 在ABC中，点D在BC边上，AD=33, （1）求sinABD的值. （2）求BD的长.,【解析】（1）因为 所以 因为 所以 因为ABD=ADC-BAD, 所以sinABD=sin(ADC-BAD) =sinADCcosBAD-cosADCsinBAD,（2）在ABD中，由正弦定理， 得 所以,考向 2 余弦定理的应用 【典例2】（1）（2013台州模拟）在ABC中，(2a-c)cos B =bcos C,则角B等于( ) （2）（2013济南模拟）已知ABC中，sin Asin B sin
7、C=324，则cos C等于( ),（3）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，且满足 则边a=( ) 【思路点拨】（1）利用余弦定理转化为边的关系后再利用余 弦定理求解. （2)利用已知条件及正弦定理得a,b,c的关系，再利用余弦定 理求解. （3）利用已知可得cos A及b，c的值，再利用余弦定理求a.,【规范解答】（1）选C.由(2a-c)cos B=bcos C及余弦定理 得 得a2+c2-b2=ac, 又0B,（2）选B.由sin Asin Bsin C=324, 及 得 abc=324. 设a=3k,b=2k,c=4k(k0), 则,（3）选C.因为 所以 由 得bcc
8、os A=3，所以bc=5. 由bc=5，及b+c=6，解得 或 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=20, 解得,【互动探究】若将本例题(3)中的 改为 如何求a? 【解析】由 得 故 又由 得 故 由正弦定理得,【拓展提升】正、余弦定理间的相互转化 在应用正、余弦定理解题时，应注意公式的灵活性，尤其要注意两个定理间的相互转化，如a2=b2+c2-2bccos A可以转化为sin2A=sin2B+sin2C-2sin Bsin Ccos A，利用这些变形可进行等式的化简与证明.,【变式备选】在ABC中，a,b，c分别是角A，B，C的对边，且 （1）求角B的大小. （2）若 求a,
9、c的值.,【解析】（1）由余弦定理及 得： 整理得a2+c2-b2=-ac.,（2）由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B, 又 ac=3. 由 得 或 即a=1,c=3或a=3,c=1.,考向 3 利用正、余弦定理判断三角形的形状 【典例3】（1）（2013哈尔滨模拟）在ABC中，若 sin A=2sin Bcos C，则ABC是( ) (A)锐角三角形 (B)等腰三角形 (C)钝角三角形 (D)直角三角形 （2）在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C. 求A的大小； 若sin B+sin C=1，试判断AB
10、C的形状.,【思路点拨】（1）将sin A转化为sin(B+C)展开可求解. （2）利用正弦定理化角为边，再结合余弦定理可解； 先求出sin B,sin C的值再求出角B，C，可判断三角形的形状.,【规范解答】（1）选B.由sin A=sin(B+C)得 sin(B+C)=2sin Bcos C， 所以sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bcos C, 即sin Bcos C-cos Bsin C=0, 所以sin(B-C)=0. 又B，C为ABC的内角, 所以B-C=0，即B=C，故ABC为等腰三角形.,（2）由已知及正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c， 整理
11、得a2=b2+c2+bc， b2+c2-a2=-bc, 又 由得sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C. 又sin B+sin C=1，得 因为 故 所以ABC是等腰的钝角三角形.,【拓展提升】 1.三角形形状的判断思路 (1)若出现边与边的关系时主要看是否有等边或是否符合勾股定理等. (2)若出现角与角的关系时主要是看是否有等角、有无直角或钝角等. 2.判定三角形形状的两种常用途径 (1)通过正弦定理或余弦定理，化边为角,利用三角变换得出三角形内角之间的关系后进行判断.,(2)利用正弦定理或余弦定理，化角为边,通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系后进行判断. 【提醒】判断
12、三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件.另外在变形过程中要注意角A，B，C 的范围对三角函数值的影响.,【变式训练】（1）在ABC中， 则ABC的形状为( ) (A)直角三角形 (B)等腰三角形 (C)等边三角形 (D)等腰直角三角形 (2)ABC中，已知a-b=ccos Bccos A，则ABC的形状为 ( ) (A)等腰三角形 (B)直角三角形 (C)等腰直角三角形 (D)等腰或直角三角形,（3）ABC中，若b=asin C,c=acos B,则ABC的形状为( ) (A)等腰三角形 (B)直角三角形 (C)等腰直角三角形 (D)等腰或直角三角形 【解析】（1）选B.方法一：
13、 asin Absin B. 由正弦定理得 a2=b2，ab，ABC为等腰三角形.,方法二： asin Absin B. 由正弦定理可得 2Rsin2A2Rsin2B，sin Asin B， AB或AB（不合题意舍去) 故ABC为等腰三角形.,(2)选D.由已知结合余弦定理可得 整理得(a-b)(a2+b2-c2)=0, a=b或a2+b2=c2, ABC为等腰三角形或直角三角形. （3）选C.由c=acos B可知 整理得b2+c2=a2，ABC是直角三角形，且A=90. 又由b=asin C,得 B=C,ABC是等腰直角三角形.,【满分指导】解正、余弦定理综合题的解题规范 【典例】(12分
14、)（2012江苏高考）在ABC中，已知 （1）求证：tan B=3tan A. （2）若 求A的值,【思路点拨】,【规范解答】（1）由 得 即为cbcos A=3cacos B, 2分 bcos A=3acos B，由正弦定理得sin Bcos A=3sin Acos B， 3分 两边同除cos Acos B得tan B=3tan A. 即tan B=3tan A成立. 5分,（2）因为 所以C为锐角， 所以tan C=2, 由（1）知tan B=3tan A，且A+B+C=， 得tan -(A+C) =3tan A, 6分 即 即 8分 所以tan A=1或 10分 因tan B=3tan A，由内角和为知两角均为锐角， 故 应舍去.所以tan A=1，所以 12分,【失分警示】 (下文见规范解答过程),1.(2013萍乡模拟）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,若acos A=bsin B,则sin Acos A+cos2B等于( ) 【解析】选D.根据正弦定理，由acos A=bsin B, 得sin Acos A=sin2B, sin Acos A+cos2B=sin2B+cos2B=1.,2.（2012湖南高考）在ABC中， 则BC边上的高等于( ) 【解析】选B.设AB=c,BC边上的高为h. 由余弦定理得AC2=c2+BC2-2BCccos 60
