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1、高三模拟四考试数学试题（理科）（满分：150分，考试时间：120分钟）第卷 选择题（共50分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1设a,b是单位向量，则“ab =1”是“a=b”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件2.已知集合，集合，则A B C D3. 双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为A. B. C. D.4. 函数的图象在点处的切线方程是，则A. B.- C.1 D.25. 运行右图所示框图的相应程序,若输入的值分别为和,则输出M的值是A.0 B.1 C. 2 D
2、. 16. 设，则使函数的定义域为且为奇函数的所有的值为A.1，3 B.1，3， C.1，3， D.1，3， 7. 某几何体的三视图如右图所示,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的体积为A.12 B. C. D.8.已知等差数列的公差, 若,则该数列的前n项和的最大值为 A60 B55 C50 D.459. 如图，矩形内的阴影部分是由曲线及直线与轴围成，向矩形内随机投掷一点，若此点落在阴影部分的概率为，则的值是A. B. C. D.10. 已知是定义在R上的可导函数，且 对于任意恒成立，则A. B. C. D. 第卷 非选择题（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分11
3、.已知向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 . 12. 设实数满足约束条件，若的最小值为，则的值为 .13.若将逐项展开得，则出现的概率为，出现的概率为，如果将逐项展开，那么出现的概率为 . 14. 已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是 . 15已知，则满足不等式的实数的范围是 . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本答题共6小题，共75分）16（本小题12分）设函数的最小正周期为（）求的值（）若函数的图像是由的图像向右平移个单位长度得到的，求的单调递增区间17.（本小题12分）数列各项均为正数，其前项和为，且满足（）求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
4、（）设， 求数列的前n项和的最小值18.（本小题12分）在四棱锥中，侧面底面，为中点，底面是直角梯形.（）求证：平面；（）设为侧棱上一点，试确定的值，使得平面PBD与平面QBD的夹角为.19.（本小题12分）已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点（，）（）求椭圆的方程；（）设不过原点O的直线与该椭圆交于P，Q两点，且直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求OPQ面积的取值范围20. （本小题13分）第30届奥运会已于2012年7月27日在伦敦举行，当时某学校招募了8名男志愿者和12名女志愿者，这20名志愿者的身高如下茎叶图（单位：）：若身高在180以上（包括180）定义为“高个
5、子”，身高在180以下（不包括180）定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”.（）用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，如果从这5人中随机选2人，那么至少有1人是“高个子”的概率是多少？（）若从所有“高个子”中随机选3名志愿者，用表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出的分布列，并求的数学期望.男女816589876172355674218012119021.（本小题14分）已知函数.（）求的极值；（）若函数的图象与函数=1的图象在区间上有公共点，求实数a的取值范围； （）设各项为正的数列满足：，求证：高三模拟数学（理科）参考答案与评分标准一、选择题
6、：（每小题5分，满分50分）题号12345678910答案CBCDCADDBA二、填空题: （每小题5分，满分25分）11； 121； 13； 14; 15 . 三、解答题：16. 解：（），依题意得，故的最小正周期为. 6分（）依题意得: ，由，解得，故的单调增区间为: . 12分17解：（），当n2时，整理得，（n2），又， 数列为首项和公差都是1的等差数列 ，又，. n2时，又适合此式，数列的通项公式为. 6分 （）， =， 的最小值为. 12分18解：（I）取的中点，连结，因为为中点，且，在梯形中，四边形为平行四边形，平面，平面，平面.6分（II）如图，以D为原点建立空间直角坐标系，则
7、，平面的法向量为，设 平面的法向量为，由，注意到. 12分19解：（）由题意可设椭圆方程为 （ab0），则 故 ，所以，椭圆方程为 4分（）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为 ykxm（m0），P（x1，y1），Q（x2，y2），由消去y得（14k2）x28kmx4（m21）0，则64 k2b216（14k2b2）（b21）16（4k2m21）0，且，6分故 y1 y2（kx1m）（kx2m）k2x1x2km（x1x2）m2因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，所以，k2，即m20，又m0，所以 k2，即 k10分由于直线OP，OQ的斜率存在，且0，得0m22
8、且 m21设d为点O到直线l的距离，则 SOPQd | PQ | x1x2 | | m |，所以 SOPQ的取值范围为 （0，1）12分20解：（I）根据茎叶图可知，这20名志愿者中有“高个子”8人，“非高个子”12人，用分层抽样的方法从中抽出5人，则每个人被抽到的概率为，所以应从“高个子”中抽人，从“非高个子”中抽人.用事件A表示“至少有一名高个子被选中”，则它的对立事件表示“没有一名高个子被选中”，则,因此至少有1人是“高个子”的概率是；6分（II）依题意知，所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数的所有可能为0,1,2,3., ,， ，因此，的分布列如下：0123所以的数学期望.13分21解：（），令，当是增函数；当是减函数；，无极小值. 4分（）当时，即，由（）知上是增函数，在上是减函数， ，又当 时，的图象在上有公共点，.解得.当时，上是增函数，所以原问题等价于又，无解， 综上，实数a的取值范围是. 10分（）令=1，由（）知，假设，则，故从而，即. 14分
