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1、陕西省长安一中 高新一中 交大附中 师大附中 西安中学（五校）2013届高三数学第三次模拟考试试题 文（含解析）第卷 (选择题 共50分)一、选择题(本大题共10题,每小题5分,共50分)1.若集合,则【 】.A. B. C. D.【答案】A【解析】集合,所以.2.若复数满足,则复数的模为【 】.A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以设，则，所以，所以，所以复数的模为。3.若三棱锥的三视图如右图所示,则该三棱锥的体积为【 】. A. B. C. D.【答案】D【解析】由三视图知：三棱锥的底面为直角三角形，两直角边分别为5和4，三棱锥的高为4，所以三棱锥的体积为。4.若的三个内角满足
2、,则【 】. A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形【答案】C【解析】因为，所以，不妨设，由余弦定理得：，所以角C为钝角，所以一定是钝角三角形。i5?否开始S=0,i=1T=3i1S=S+Ti= i+1是输出S结束5.函数是【 】. A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的奇函数 C.最小正周期为的偶函数 D.最小正周期为的偶函数【答案】C【解析】易知函数的定义域为R，又，所以f(x)是偶函数，又函数的周期为，所以函数是最小正周期为的偶函数。6.按右面的程序框图运行后,输出的应为【 】. A. B. C. D.【答案】C【
3、解析】第一次循环：，不满足条件，再次循环；第二次循环：，不满足条件，再次循环；第三次循环：，不满足条件，再次循环；第四次循环：，不满足条件，再次循环；第五次循环：，满足条件，输出S的值为40。7.若数列满足,且,则使的值为【 】. A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，所以数列是首项为15，公差为的等差数列，所以，由，所以使的值为23.8.“”是“直线:与:平行”的【 】. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由直线:与:平行，得，所以“”是“直线:与:平行”的充分不必要条件。9.设,分别为双曲线的左,右焦点.若在双
4、曲线右支上存在一点,满足,且到直线的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为【 】.A. B. C. D.【答案】B【解析】易知=2c，所以由双曲线的定义知：，因为到直线的距离等于双曲线的实轴长,所以，即，两边同除以，得。10.一个赛跑机器人有如下特性：(1)步长可以人为地设置成米,米,米,米或米；(2)发令后,机器人第一步立刻迈出设置的步长,且每一步的行走过程都在瞬时完成；(3)当设置的步长为米时,机器人每相邻两个迈步动作恰需间隔秒若设这个机器人以()米的步长跑米(允许超出米)所需的时间为秒,则【 】. A. B. C. D.【答案】A【解析】易知：，所以 。第卷 (共100分)二、填空
5、题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11.圆与抛物线的交点个数为_.【答案】【解析】联立圆的方程和抛物线的方程：，得，因为，所以圆与抛物线的交点个数为4.12.若向量,则的最大值为 .【答案】【解析】因为向量,所以，所以 ，所以的最大值为9，因此的最大值为4.13.若实数满足,且,则的取值范围是_.【答案】【解析】画出条件,且的可行域,由可行域知的取值范围是。14.连掷两次骰子得到的点数分别为和,若记向量与向量的夹角为,则为锐角的概率是 .【答案】【解析】 连掷两次骰子得到的点数记为，其结果有36种情况，若向量与向量的夹角为锐角，则，满足这个条件的有6种情况，所以为锐角的概率是。15.请
6、考生从以下三个小题中任选一个作答,若多选,则按所选的第一题计分.A.(不等式选讲)若实数满足,则的最大值为_.【答案】【解析】由柯西不等式得： ，所以，所以的最大值为。B.(几何证明选讲)以的直角边为直径的圆交边于点,点在上,且与圆相切.若,则_.【答案】【解析】连接OE，因为，所以，又因为,与圆相切,所以O、B、C、E四点共线，所以。C.(坐标系与参数方程)在极坐标系中,曲线与直线的两个交点之间的距离为_.【答案】【解析】把曲线方程化为直角坐标方程为：，把直线方程转化为直角坐标方程为，圆心到直线的距离为：，所以弦长为，即两个交点之间的距离为。三、解答题(本大题共6小题,共75分) 16.(本
7、题12分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数. ； ； ； ； . (1)从上述五个式子中选择一个,求出常数； (2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论.17.(本题12分) 随机抽取某中学甲乙两班各名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图.(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；(2)计算甲班的样本方差；(3)现从乙班这名同学中随机抽取两名身高不低于cm的同学,求身高为cm的同学被抽中的概率.18.(本题12分)如图,四棱锥的底面是正方形,棱底面,是的中点(1)证明:平面；(2)证明:平面平面.19.(
8、本题12分)在数列中,且对任意的都有. (1)求证:是等比数列； (2)若对任意的都有,求实数的取值范围.20.(本题13分) 已知椭圆:的离心率为,过右焦点且斜率为的直线交椭圆于两点,为弦的中点,为坐标原点. (1)求直线的斜率； (2)对于椭圆上的任意一点,设,求证:.21.(本题14分)设函数有两个极值点,且. (1)求实数的取值范围； (2)当时,判断方程的实数根的个数,并说明理由.高2013届第三次五校联考数学(文)参考答案一、选择题(本大题共10题,每小题5分,共50分)题号12345678910答案ABDCCCDABA二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11. 12
9、. 13. 14. 15. A. B. C.三、解答题(本大题共6小题,共75分) 16.(本题12分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数. ； ； ； ； . (1)试从上述五个式子中选择一个,求出常数； (2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论.解:(1)选择式计算:.4分(2)猜想的三角恒等式为:.6分 证明: .12分17.(本题12分) 随机抽取某中学甲乙两班各名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图.(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；(2)计算甲班的样本方差；(3)从乙班这名同学中随机抽
10、取两名身高不低于cm的同学,求身高为cm的同学被抽中的概率.解:(1)由茎叶图可知：对比两班身高集中于之间的数据可知乙班平均身高应高于甲班,而其余数据可直接看出身高的均值是相等的,因此乙班平均身高应高于甲班；3分 (2)由题意知甲班样本的均值为,故甲班样本的方差为 7分 (3)设“身高为cm的同学被抽中”的事件为,从乙班的名同学中抽中两名身高不低于cm的同学有:,共个基本事件,而事件含有个基本事件,故.12分18.(本题12分)如图,四棱锥的底面是正方形,棱底面,是的中点(1)证明:平面； (2)证明:平面平面.证明:(1)连结,设与交于点,连结.底面ABCD是正方形,为的中点,又为的中点,
11、平面,平面,平面.6分(2),是的中点, .底面,.又由于,故底面,所以有.又由题意得,故.于是,由,可得底面.故可得平面平面.12分19.(本题12分)在数列中,且对任意的都有. (1)求证:是等比数列； (2)若对任意的都有,求实数的取值范围.证:(1)由,得.又由,得. 因此,是以为首项,以为公比的等比数列.5分 解:(2)由(1)可得,即, 于是所求的问题:“对任意的都有成立”可以等价于问题:“对任意的都有成立”. 若记,则显然是单调递减的,故. 所以,实数的取值范围为.12分20.(本题13分) 已知椭圆:的离心率为,过右焦点且斜率为的直线交椭圆于两点,为弦的中点. (1)求直线(为坐标原点)的斜率；(2)对于椭圆上的任意一点,设,求证:.解:(1)设椭圆的焦距为,因为,所以有,故有. 从而椭圆的方程可化为: 易知右焦点的坐标为(),据题意有所在的直线方程为:. 由,有:. 设,弦的中点,由及韦达定理有: 所以,即为所求. 6分(2)显然与可作为平面向量的一组基底,由平面向量基本定理,对于这一平面内的向量,有且只有一对实数,使得等式成立.设,由(1)中各点的坐标有:,故. 8分又因为点在椭圆上,所以有整理可得: . 由有:.所以 又点在椭圆上,故有 . 将,代入
