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1、王文静 北京交通大学,Finite Element Analysis (FEA) and Applications,2011年10月,有限元分析及应用,如何用有限元法求解结构问题_基本思路,有限元发展史,主要内容,有限元法是如何形成的？,什么是有限元法？,有限元应用,内容,有限元法的基本概念,有限元法的基本概念,有限元法是解决工程和数学物理问题的数值方法。,数值模拟技术： 吸收现代数学物理学和力学等理论的基础上，借助计算机来获得满足工程要求的数值解，是现代工程学形成和发展的重要推动力之一。 工程领域常用的数值模拟方法： 有限元法 边界元法 有限差分法,有限元法的基本概念,把一个连续体近似地用有
2、限个在节点处相联接的单元组成的组合体来代替，从而把连续体的分析转化为单元分析加上对这些单元组合的分析问题。,有限元法的基本概念,单元、节点：,内容,产生背景,产生背景,2 连续系统,1 离散系统,固体力学 位移和应力场分析 振动特性分析 稳定性分析 传热学 稳态与瞬态温度场分析 电磁学 流体力学 声学,归结为给定边界条件下求解其控制方程（微分方程或偏微分方程）的问题,建立的基本方程所研究的对象通常是无限小单元，对复杂边界工程问题难得解析解,产生背景,V6引擎的局部,热传导问题的控制方程与换热边界条件：,初始条件：初始温度场也可以是不均匀的， 但各点温度值是已知的：,通常的热边界有三种，第三类边
3、界条件如下形式：,尽管已经建立了连续系统的基本方程，由于边界条件的限制，还无法给出精确的解答，如图所示V6引擎在工作中的温度分布。,V6引擎传热学问题,产生背景,内容,有限元法的基本思路,有限元法的基本思路,结构网格划分模型,单元分析，就是建立各个单元的节点位移和节点力之间的关系式。,整体分析，即建立节点外载荷与节点位移的关系，解出节点位移。,网格划分,单元分析,整体分析,（1） 结构离散化,有限元法的基础是用有限个单元体的集合来代替原有的连续体。因此首先要对弹性体进行必要的简化，再将弹性体划分为有限个单元组成的离散体。单元之间通过单元节点相连接。由单元、节点、节点连线构成的集合称为网格。 通
4、常把三维实体划分成4面体或6面体单元的网格，平面问题划分成三角形或四边形单元的网格。,有限元法的基本思路,单元类型选择 单元形状 节点数 节点自由度,有限元法的基本思路,单元划分 网格的加密 单元形态 节点连接 节点编码,有限元法的基本思路,（2） 单元分析 选择位移函数 设定一个简单的函数为位移的近似函数； 位移函数，一般为多项式，由广义坐标法与插值法设定，最终整理为单元节点位移的插值函数； 单元中任意一点的位移矩阵 ，均可用该 单元节点位移排列成的矩阵 来表示：,有限元法的基本思路,单元特性分析 单元应变矩阵 利用应变和位移间的几何关系，将单元中任意一点的应变 用待定的单元节点位移矩阵 来
5、表示：,有限元法的基本思路,单元应力矩阵 利用应力和应变间的物理方程，推导出用单元节点位移 表示的单元中任意一点的应力 ： - 单元刚度矩阵 单元刚度矩阵反映出 与单元节点力 之间的关系，由平衡条件导出，其转化关系式称为单元刚度方程 ：,有限元法的基本思路,（3） 整体分析 集成整体节点载荷向量 结构离散化后，单元之间通过节点传递力，所以有限元法在结构分析中只采用节点载荷。所有作用在单元上的集中力，体积力与表面力都静力等效地移植到节点上去，形成等效载荷。最后，将所有节点载荷按整体节点编码顺序组集成整体节点载荷向量。,有限元法的基本思路,集成整体刚度方程 集合所有的单元刚度方程得到： 为整体节点
6、位移向量 解方程组和输出计算 引进边界约束条件，根据支承条件修改整体刚度矩阵； 解方程组，求出节点的位移分量； 根据节点位移，求出单元的应变和应力；,有限元法的基本思路,内容,有限元法的发展史,1.1 有限元法的发展,有限元法的发展史,有限单元法是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方法。它是50年代首先在连续体力学领域-飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析方法，随后很快广泛的应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。,有限元法的发展史,我国的力学工作者为有限元方法的初期发展做出了许多贡献，著名的有： 陈伯屏（结构矩阵方法） 钱令希（余能原理） 钱伟长（广义变分
7、原理） 胡海昌（广义变分原理） 冯康（有限单元法理论）,有限元法的发展史,发展：,从单纯结构力学计算发展到求解许多物理场问题 有限元分析方法最早是从结构化矩阵分析发展而来，逐步推广到板、壳和实体等连续体固体力学分析，实践证明这是一种非常有效的数值分析方法。 有限元方法已发展到流体力学、温度场、电传导、磁场、渗流和声场等问题的求解计算，最近又发展到求解几个交叉学科的问题。 例如当气流流过一个很高的铁塔产生变形，而塔的变形又反过来影响到气流的流动这就需要用固体力学和流体动力学的有限元分析结果交叉迭代求解，即所谓“流固耦合“的问题。,有限元法的发展史,增强可视化的前置建模和后置数据处理功能 随着数值
8、分析方法的逐步完善，尤其是计算机运算速度的飞速发展，整个计算系统用于求解运算的时间越来越少，而数据准备和运算结果的表现问题却日益突出。 在现在的工程工作站上，求解一个包含10万个方程的有限元模型只需要用几十分钟。工程师在分析计算一个工程问题时有80%以上的精力都花在数据准备和结果分析上。,有限元法的发展史,与CAD软件的无缝集成 当今有限元分析系统的另一个特点是与通用CAD软件的集成使用， 即：在用CAD软件完成部件和零件的造型设计后，自动生成有限元网格并进行计算，如果分析的结果不符合设计要求则重新进行造型和计算，直到满意为止，从而极大地提高了设计水平和效率。 当今所有的商业化有限元系统商都开
9、发了与著名的CAD软件（例如Pro/ENGINEER、Unigraphics、SolidEdge、SolidWorks、IDEAS、Bentley和AutoCAD等）的接口。,有限元法的发展史,CAE/CAD交互 一体化框图,有限元法的发展史,缩短设计和分析的循环周期；,CAE软件的价值,增加设计功能，减少设计成本；,增加产品和工程的可靠性；,进行机械事故分析，查找事故原因。,采用优化设计，降低材料的消耗或成本；,在产品制造或工程施工前预先发现潜在的问题；,模拟各种试验方案，减少试验时间和经费；,有限元法的发展史,由求解线性工程问题进展到分析非线性问题 线性理论已经远远不能满足设计的要求。 例
10、如：航天和动力工程的高温部件存在热变形和热应力，要考虑材料的非线性问题；诸如塑料、橡胶和复合材料等各种新材料的出现，只有采用非线性有限元算法才能解决。 非线性的数值计算是很复杂的，很难为一般工程技术人员所掌握。为此近年来国外一些公司花费了大量的人力和投资开发诸如MARC、ABQUS和ADINA等专长于求解非线性问题的有限元分析软件，并广泛应用于工程实践。,有限元法的发展史,内容,有限元法的应用,内容,Bench test of CRH3 Motor bogie frame,FEA of CRH3 Motor bogie frame test,车体一阶垂向弯曲,车体一阶水平弯曲,车体一阶扭转,车体二阶水平弯曲,碰撞,t=2s,t=32s,t=60s,t=180s,半导体芯片温度场的数值仿真,边坡破坏模拟,Applications in predictive medicine,(a) Mesh of a hand model near the wound,(b) Cross section of a heart model,有限元通用软件,针对某类问题的专用有限元软件：如金属成形分析软件Deform、Autoform，焊接与热处理分析软件SysWeld等。,
